¿Cómo cambiar programáticamente el nombre de usuario (user_login)?

También podrías considerar cambiar el user_nicename mediante la consulta SQL. Una vez hecho esto, todos los enlaces permanentes y otras funciones funcionarán perfectamente.

Además de la respuesta de Krzysiek Dróżdż.

Si no deseas cerrar la sesión de los usuarios después de cambiar user_login, necesitas hacer lo siguiente para mantener al usuario conectado con los nuevos datos:

clean_user_cache($user->ID); // Limpiar caché del usuario
wp_clear_auth_cookie(); // Eliminar cookie de autenticación actual
wp_set_current_user($user->ID); // Establecer usuario actual
wp_set_auth_cookie($user->ID, true); // Crear nueva cookie de autenticación
update_user_caches($user); // Actualizar cachés del usuario

Debes usar el filtro para modificar el $data cuando se actualice el usuario, no puedes actuar con el action al que normalmente te engancharías en una actualización de usuario.

También debes implementar varias de las medidas de seguridad y validación que WordPress aplica en su código dentro de tu nueva función.

Lo que puedes hacer:

1. Engancharte al filtro wp_pre_insert_user_data. Asegúrate de hacerlo solo con los permisos correctos: add_filter( 'wp_pre_insert_user_data', 'prefix_change_user_login', 10, 4 );
2. Ahora crea una función prefix_change_user_login donde obtengas el $data, el user_login del $_POST y lo pases por una serie de validaciones y saneamientos (ver https://github.com/WordPress/wordpress-develop/blob/bb27ffce6c3b10738008f9a054782945a0744960/src/wp-includes/user.php#L2076-L2498 para más detalles)
3. Además, por supuesto, tendrás que permitir la edición real del campo de inicio de sesión del usuario en la pantalla de Editar Usuario del Administrador de WP, o pasar ese valor de alguna otra manera a tu código.

Un ejemplo de dicha función:

    /**
     * Actualiza el nombre de inicio de sesión del usuario
     *
     * @since x.x.x
     * @param array    $data {
     *     Valores y claves para el usuario.
     *
     *     @type string $user_login      El inicio de sesión del usuario. Solo incluido si $update == false
     *     @type string $user_pass       La contraseña del usuario.
     *     @type string $user_email      El email del usuario.
     *     @type string $user_url        La URL del usuario.
     *     @type string $user_nicename   El nombre "bonito" del usuario. Por defecto una versión segura para URL del inicio de sesión
     *     @type string $display_name    El nombre para mostrar del usuario.
     *     @type string $user_registered Timestamp MySQL que describe el momento en que el usuario se registró. Por defecto
     *                                   el timestamp UTC actual.
     * }
     * @param bool     $update   Si el usuario se está actualizando en lugar de crearse.
     * @param int|null $user_id  ID del usuario a actualizar, o NULL si el usuario se está creando.
     * @param array    $userdata El array crudo de datos pasado a wp_insert_user().
     */
    function prefix_change_user_login( $data, $update, $user_id, $userdata ){

        // ¡¡¡NO OLVIDES AÑADIR AQUÍ LA VALIDACIÓN CORRECTA DE NONCE Y REFERER!!!!

        $sanitized_user_login = sanitize_user( wp_unslash( $_POST['user_login'] ), true );// En nuestro caso obtenemos el nuevo inicio de sesión del valor POST del formulario en el Admin de WP. ¡Si esto es diferente en tu caso, adáptalo!

        /**
         * Filtra un nombre de usuario después de ser saneado.
         *
         * Este filtro se llama antes de que el usuario sea creado o actualizado.
         *
         * @since 2.0.3
         *
         * @param string $sanitized_user_login Nombre de usuario después de ser saneado.
         */
        $pre_user_login = apply_filters( 'pre_user_login', $sanitized_user_login );
        $illegal_logins = (array) apply_filters( 'illegal_user_logins', array() );

        // Elimina cualquier carácter no imprimible del string de inicio de sesión para ver si terminamos con un nombre vacío.
        $user_login = trim( $pre_user_login );

        if ( empty( $user_login )
            || mb_strlen( $user_login ) > 60
            || username_exists( $user_login )
            || in_array( strtolower( $user_login ), array_map( 'strtolower', $illegal_logins ), true )
        ) {
            return $data;
        }

        $data['user_login'] = $user_login;
        $user_nicename = sanitize_title( mb_substr( $user_login, 0, 50 ) );// ¿Quién sabe qué habían fumado los desarrolladores de WP cuando decidieron hacer el nicename 10 caracteres más corto que el nombre de inicio de sesión?
        global $wpdb;
        $user_nicename_check = $wpdb->get_var( $wpdb->prepare( "SELECT ID FROM $wpdb->users WHERE user_nicename = %s AND user_login != %s LIMIT 1", $user_nicename, $user_login ) );

        if ( $user_nicename_check ) {
            $suffix = 2;
            while ( $user_nicename_check ) {
                // user_nicename permite 50 chars. Resta uno por el guión, más la longitud del sufijo.
                $base_length         = 49 - mb_strlen( $suffix );
                $alt_user_nicename   = mb_substr( $user_nicename, 0, $base_length ) . "-$suffix";
                $user_nicename_check = $wpdb->get_var( $wpdb->prepare( "SELECT ID FROM $wpdb->users WHERE user_nicename = %s AND user_login != %s LIMIT 1", $alt_user_nicename, $user_login ) );
                $suffix++;
            }
            $user_nicename = $alt_user_nicename;
        }
        $data['user_nicename'] = $user_nicename;

        return $data;

    }

Esto te permitirá actualizar el nombre de inicio de sesión del usuario, y también actualizará el "nicename" del usuario (usado en archivos por ejemplo).

Por supuesto, esto aún requiere que "habilites" la edición en el área de Administración de WP, pero eso no debería ser muy difícil.

Nota que si ocurre algún error en el código anterior (el nombre de usuario ya existe, etc.) NO se muestra ningún error, en su lugar, el usuario simplemente se actualiza y vuelve al estado anterior.

Nota que, aunque este código está probado, depende de ti lo que hagas con él, y hay RAZONES por las que wp no permite actualizar el inicio de sesión del usuario.