Etiquetas y categorías con tipos de posts personalizados

cambia tu código a este:

/* Crear tipo de entrada personalizado: "Tilbud" */
register_post_type('tilbud', array(
'label' => __('Tilbud'),
'singular_label' => __('Tilbud'),
'public' => true,
'show_ui' => true,
'capability_type' => 'post',
'hierarchical' => false,
'rewrite' => false,
'query_var' => false,
'taxonomies' => array('post_tag','category'),
'supports' => array('title')
));

la función register_post_type recibe el nombre del tipo de entrada y un array de argumentos uno de estos es "taxonomies" y eso es lo que te falta.

Funcionó para mí usando este código:

'taxonomies' => array('post_tag','category'),

El cual se añade al mismo código que estás utilizando.

Si necesitas mostrar etiquetas para un tipo de publicación personalizada (custom post type), aquí hay un buen ejemplo https://jamper.online/vyvod-tegov-tags-dlya-kastomnyh-postov-custom-post-type

function get_terms_by_custom_post_type( $post_type, $taxonomy ){
        $args = array( 'post_type' => $post_type);
        $loop = new WP_Query( $args );
        $postids = array();
        // construir un array de IDs de posts
        while ( $loop->have_posts() ) : $loop->the_post();
            array_push($postids, get_the_ID());
        endwhile;
        // obtener valores de taxonomía basados en el array de IDs
        $taxonomies = wp_get_object_terms( $postids,  $taxonomy );
        wp_reset_postdata();
        return $taxonomies;
}