Obtener el slug del elemento del menú

Ya tienes el ID del post contigo. Así que puedes usar esta función personalizada para obtener el slug de cualquier post.

function get_the_slug( $id=null ){
    if( empty($id) ):
        global $post;
        if( empty($post) )
            return ''; // No hay variable global $post disponible.
        $id = $post->ID;
    endif;

    $slug = basename( get_permalink($id) );
    return $slug;
}

Esto te devolverá el slug del post especificado que puedes pasar como argumento. Por defecto, te dará el slug del post actual.

Puedes hacer algo como esto:

$slug = sanitize_title( $menu_item->title );

Sin embargo, no es 100% confiable, porque -creo- el slug no siempre (o no tiene por qué ser) igual que el título.

He creado una solución que obtiene los menús y extrae los slugs de allí. No estoy seguro de que funcione perfectamente con menús personalizados, pero al menos cuando el menú utiliza publicaciones, categorías u otras opciones que ofrece WordPress, está funcionando.

Puedes colocar esta función dentro de tu archivo functions.php y llamarla en cualquier parte de tu tema.

//Necesitas pasar el slug del menú como parámetro a la función. 
//Reemplaza $current_menu con el slug del menú del cual deseas obtener los slugs.
        
function get_menu_slugs( $current_menu ) {
    $slugs_menu = array();
    $array_menu = wp_get_nav_menu_items( $current_menu );

    foreach ( $array_menu as $m ) {
        $single_slug    = basename( $m->url );
        $slugs_menu[]   = $single_slug;
    }
    return $slugs_menu;
}

Esta función devolverá un array con la lista de slugs extraídos de las URLs del menú.

Es posible obtener el slug con $menu_item->post_name;.