Activar acción personalizada cuando se presiona el botón de configuración

Necesitas un segundo form con admin_url('admin-post.php') como acción del formulario. Luego puedes engancharte a admin_post_custom_action para ejecutar tu acción.

Código de ejemplo:

add_action( 'admin_post_wpse_79898', 'wpse_79898_test' );

function wpse_79898_test() {
    if ( isset ( $_GET['test'] ) )
        echo esc_html( $_GET['test'] );

    die( __FUNCTION__ );
}

En tu página de configuración:

<form action="<?php echo admin_url( 'admin-post.php' ); ?>">
<input type="hidden" name="action" value="wpse_79898">
<input type="text" name="test" value="">
<?php submit_button( 'Enviar' ); ?>
</form>

Actualización

Aquí hay un ejemplo bastante extendido. Muestra:

• acciones básicas de seguridad (nonces, escaping),
• cómo registrar y usar el callback,
• cómo redirigir de vuelta a la página original, esto funciona incluso para plugins activados en red,
• cómo mostrar un mensaje personalizado basado en una lista blanca de valores permitidos.

El ejemplo que he usado aquí – actualizar una opción – no debería usarse para plugins activados solo en un sitio. Para plugins activados en red, sin embargo, esto es bastante útil, porque no hay una API de opciones para esos.

Debería añadir comentarios, pero soy demasiado vago. :) Escribiré un artículo en el blog sobre esto, y actualizaré la respuesta más tarde con un enlace.

<?php
/* Plugin Name: demo admin-post */

add_action( 'wp_loaded', array ( WPSE_79898_Admin_Post_Demo::get_instance(), 'register' ) );

class WPSE_79898_Admin_Post_Demo
{
    /**
     * Instancia del plugin.
     *
     * @see get_instance()
     * @type object
     */
    protected static $instance = NULL;

    protected $action     = 'wpse_79898';
    protected $option_name     = 'wpse_79898';
    protected $page_id = NULL;

    /**
     * Accede a la instancia de trabajo de este plugin
     *
     * @wp-hook wp_loaded
     * @return  object de esta clase
     */
    public static function get_instance()
    {
        NULL === self::$instance and self::$instance = new self;
        return self::$instance;
    }

    public function register()
    {
        add_action( 'admin_menu', array ( $this, 'add_menu' ) );
        add_action( "admin_post_$this->action", array ( $this, 'admin_post' ) );
    }

    public function add_menu()
    {
        $page_id = add_options_page(
            'Demo Admin Post',
            'Demo Admin Post',
            'manage_options',
            'admin-post-demo',
            array ( $this, 'render_options_page' )
        );

        add_action( "load-$page_id", array ( $this, 'parse_message' ) );
    }

    public function parse_message()
    {
        if ( ! isset ( $_GET['msg'] ) )
            return;

        $text = FALSE;

        if ( 'updated' === $_GET['msg'] )
            $this->msg_text = '¡Actualizado!';

        if ( 'deleted' === $_GET['msg'] )
            $this->msg_text = '¡Eliminado!';

        if ( $this->msg_text )
            add_action( 'admin_notices', array ( $this, 'render_msg' ) );
    }

    public function render_msg()
    {
        echo '<div class="' . esc_attr( $_GET['msg'] ) . '"><p>'
            . $this->msg_text . '</p></div>';
    }

    public function render_options_page()
    {
        $option = esc_attr( stripslashes( get_option( $this->option_name ) ) );
        $redirect = urlencode( remove_query_arg( 'msg', $_SERVER['REQUEST_URI'] ) );
        $redirect = urlencode( $_SERVER['REQUEST_URI'] );

        ?><h1><?php echo $GLOBALS['title']; ?></h1>
        <form action="<?php echo admin_url( 'admin-post.php' ); ?>" method="POST">
            <input type="hidden" name="action" value="<?php echo $this->action; ?>">
            <?php wp_nonce_field( $this->action, $this->option_name . '_nonce', FALSE ); ?>
            <input type="hidden" name="_wp_http_referer" value="<?php echo $redirect; ?>">

            <label for="<?php echo $this->option_name; ?>">Ingresa algún texto:</label>
            <input type="text" name="<?php echo $this->option_name;
                ?>" id="<?php echo $this->option_name;
                ?>" value="<?php echo $option; ?>">
            <?php submit_button( 'Enviar' ); ?>
        </form>
        <?php
    }

    public function admin_post()
    {
        if ( ! wp_verify_nonce( $_POST[ $this->option_name . '_nonce' ], $this->action ) )
            die( 'Nonce inválido.' . var_export( $_POST, true ) );

        if ( isset ( $_POST[ $this->option_name ] ) )
        {
            update_option( $this->option_name, $_POST[ $this->option_name ] );
            $msg = 'updated';
        }
        else
        {
            delete_option( $this->option_name );
            $msg = 'deleted';
        }

        if ( ! isset ( $_POST['_wp_http_referer'] ) )
            die( 'Falta el objetivo.' );

        $url = add_query_arg( 'msg', $msg, urldecode( $_POST['_wp_http_referer'] ) );

        wp_safe_redirect( $url );
        exit;
    }
}