¿Cómo deshabilitar profile.php para los usuarios?

El siguiente código* redirigirá a los usuarios que no son administradores a una página de perfil personalizada en el front-end, ya que en lugar de deshabilitar el acceso, necesitas redirigirlos a tu página personalizada. :)

<?php
add_action ('init' , 'wpse_redirect_profile_access');

function wpse_redirect_profile_access(){
        //los administradores no serán afectados
        if (current_user_can('manage_options')) return '';

        //si estamos en la página de perfil del administrador (profile.php)
        if (strpos ($_SERVER ['REQUEST_URI'] , 'wp-admin/profile.php' )) {
            wp_redirect ( home_url( '/mi-perfil' )); // a una página como: ejemplo.com/mi-perfil/
            exit();
        }

}

*Fuente^

Me gusta esta opción. Puedes añadir páginas de administración al array para redirigirlas. Aquí la tengo configurada para redirigir al Escritorio, pero también podrías redirigir a una URL de BuddyPress... Simplemente no estoy seguro de cuál sería esa URL ya que no uso BP con frecuencia.

   function no_proflie_admin_pages_redirect() {
      global $pagenow;
      if(!current_user_can('manage_options')) {
          $admin_redirects = array(
                    'profile.php'
                );
          if(in_array($pagenow, $admin_redirects)){
            wp_redirect( admin_url('/') ); exit;
          }
      }
    }
    add_action('admin_init', 'no_proflie_admin_pages_redirect');
  

También puedes ocultar cualquier enlace adicional a profile.php con CSS simple:

function hide_any_profile_links() { ?>
    <style type="text/css">
        a[href="http://example.com/wp-admin/profile.php"], a[href="profile.php"]{
            display: none!important;
        }
    </style>
<?php }
add_action('admin_head', 'hide_any_profile_links', 999);

Lo anterior también podría lograrse con jQuery o usando PHP y el buffer de salida.

Extendiendo la respuesta de @birgire, de la cual encontré que el primer fragmento de código es el más limpio que he visto para esto, quería agregar lo siguiente ya que creo que puede ser útil para la mayoría de las personas que llegan a este hilo.

Si no quieres que los usuarios accedan a su perfil en el backend, probablemente tampoco querrás que puedan acceder al escritorio.

El caso de uso es cuando tienes suscriptores a los que no quieres que accedan al backend en absoluto. Por defecto pueden acceder al escritorio y a su perfil, así que evitemos eso:

function redirect_subscribers () {
    if( ! current_user_can( 'edit_posts' ) {
        exit( wp_safe_redirect( site_url() ) );
    }
}
add_action( 'load-index.php', 'redirect_subscribers' );
add_action( 'load-profile.php', 'redirect_subscribers' );

Observa que en este caso he usado la capacidad edit_posts, ya que solo estoy dirigiendo a suscriptores y esta es una capacidad que todos los roles tienen excepto los suscriptores.

Luego estoy usando site_url() para redirigirlos a la página de inicio, pero también podrías usar get_permalink($page_id) pasando el id de la página donde has creado un área de "Mi cuenta" como parámetro.

El load-{$page_hook} está documentado en el codex.