¿Cómo obtener el nombre del get_post_types actual?

Necesitarás el objeto de la publicación de alguna manera, o alternativamente, el objeto consultado en los archivos de tipos de publicación. En una página singular podrías hacer:

$post = get_queried_object();
$postType = get_post_type_object(get_post_type($post));
if ($postType) {
    echo esc_html($postType->labels->singular_name);
}

O dentro del bucle:

$postType = get_post_type_object(get_post_type());
if ($postType) {
    echo esc_html($postType->labels->singular_name);
}

En archivos de tipos de publicación:

$postType = get_queried_object();
echo esc_html($postType->labels->singular_name);

Todos estos métodos te darán el nombre singular del tipo de publicación que fue registrado en la clave labels de register_post_type.

Para obtener el nombre del tipo de contenido actual, utiliza el siguiente código dentro del loop.

$post_type = get_post_type( get_the_ID() );
echo '<p>' . $post_type . '</p>';

o muestra el nombre del tipo de contenido usando la función printf.

printf( __( 'El tipo de contenido es: %s', 'textdomain' ), get_post_type( get_the_ID() ) );

El método get_post_type() recupera el tipo de publicación del post actual o de una publicación dada. Más información aquí.