Contact Form 7 - El botón Submit del formulario no funciona después de una petición Ajax

Estoy usando Contact Form 7 con ajax jquery. La primera parte es para que el usuario inserte el número de vehículo y el email.

Si tiene éxito, cargará Contact Form 7 vía ajax. Cuando hago clic en enviar, redirecciona a una nueva página y muestra 0. He investigado en Google y encontré la función wpcf7-submit.

Intenté hacer una función de alerta y responde como se esperaba. ¿Cómo puedo usarlo con Contact Form 7 y enviar por email los detalles del formulario si no hay errores?

Código

form.php

<?php
get_header(); 
// Incluir todas las funciones del tema    
?>

<form name="season-form" class="form-horizontal" method="post" action="">
  <div class="form-group form-group-lg">
    <label for="carNo" id="label-cust">Número de Registro del Vehículo</label>
    <input type="text" class="form-control" name="vehicle_no" id="vehicle_no" placeholder="BHK1991">
  </div>
  <div class="form-group form-group-lg">
    <label for="email" id="email">Email</label>
    <input type="email" class="form-control" name="email" id="email" placeholder="miCorreo@ejemplo.com">
  </div>
  <button type="submit" class="btn btn-primary" id="submit_payment">Realizar Pago</button>
</form>
<div id="result"></div>

<?php get_footer(); ?>

function.php

function _myConfirmHandler()
{
    if(isset($_POST['vehicle_no']))
    {
        $vehicle_no = $_POST['vehicle_no'];
        $email = $_POST['email'];

        echo do_shortcode('[cfdb-table form="season parking form_copy" show="your-name,mail,your-platno,your-location" filter="your-platno=' . $vehicle_no . '" headers="your-name=Nombre,mail=Email,your-platno=Número de Registro,your-location=Ubicación de Estacionamiento"]');

        // Mostrar el Formulario 
        echo do_shortcode('[contact-form-7 id="6959" title="Payment season Form_Post"]');
    }

    wp_die();
}

add_action('wp_ajax_confirmRequest', '_myConfirmHandler');
add_action('wp_ajax_nopriv_confirmRequest', '_myConfirmHandler');

jquery.js

jQuery(document).ready(function($) {
    $('#submit_payment').click(function(e){
        e.preventDefault();
        var str = $("form[name=season-form]").serialize();
        //alert(str);
        $.ajax({
            type: "POST",
            url: '//www.ktmparking.com.my/wp-admin/admin-ajax.php',
            data: str + '&action=confirmRequest' 
        }).done(function(data){
            $("#result").html(data);

            $(".cal").datepicker({
            showOn: "button",
            dateFormat: "dd-mm-yy",
                buttonImage: "http://theonlytutorials.com/demo/x_office_calendar.png",
                buttonImageOnly: true,
                showAnim: 'slideDown',
                duration: 'fast',
                showButtonPanel: true
            });

            $('.wpcf7-submit').click(function(e) {
                e.preventDefault();
                alert('¡Botón de envío presionado!');
            }); 

        });
    });    
});

¿Tengo que reescribir el método post en el formulario y enviar por email los detalles si tiene éxito?