Establecer "Mostrar nombre públicamente como" para que sea el nombre de usuario por defecto

Si deseas que esto aplique para todos los usuarios futuros, entonces engancha el evento user_register y actualízalo allí.

Obtén el WP_User usando get_userdata y actualiza la información con wp_update_user con el nuevo nombre para mostrar.

add_action( 'user_register', 'wpse_20160110_user_register', 10, 1 );

function wpse_20160110_user_register ( $user_id ) {

    // obtener los datos del usuario

    $user_info = get_userdata( $user_id );

    // elegir nuestro nombre para mostrar por defecto

    $display_publicly_as = $user_info->user_login;

    // actualizar el nombre para mostrar

    wp_update_user( array ('ID' => $user_id, 'display_name' =>  $display_publicly_as));
}

Si deseas configurar esto en cada inicio de sesión, entonces engancha wp_login usando PHP_INT_MAX.

function wpse_20160110_wp_login ( $user_login, $user ) {

    wp_update_user(array('ID' => $user->ID, 'display_name' => $user_login));

}

add_action('wp_login', 'wpse_20160110_wp_login', PHP_INT_MAX, 2);

Para establecer programáticamente el nombre para mostrar tanto en el registro como en la actualización del perfil, evitando el bucle infinito que experimentó Betty, debes verificar si el nombre para mostrar ya está configurado según lo necesario.

add_action( 'user_register', 'set_login_as_displayname' );
add_action( 'profile_update', 'set_login_as_displayname' );

function set_login_as_displayname( $user_id )
{
    $data = get_userdata( $user_id );

    if ($data->user_login != $data->display_name) {
        wp_update_user( array ('ID' => $user_id, 'display_name' =>  $data->user_login));
    }
}

Para actualizar durante el registro y en la actualización del perfil:

function set_display_name_to_first_last_name( $user_id ) {
    $user_info = get_userdata( $user_id );

    // Construir el nombre completo usando el nombre y apellido.
    $full_name = trim( $user_info->first_name . ' ' . $user_info->last_name );

    // Si el nombre completo construido no está vacío y es diferente al nombre mostrado actual, actualizarlo.
    if ( ! empty( $full_name ) && $full_name !== $user_info->display_name ) {
        wp_update_user( array( 'ID' => $user_id, 'display_name' => $full_name ) );
    }
}

add_action( 'user_register', 'set_display_name_to_first_last_name' );
add_action( 'profile_update', 'set_display_name_to_first_last_name' );

Para actualizar usuarios existentes (ejecutar una sola vez):

function update_existing_users_display_names() {
    // Obtener todos los usuarios
    $users = get_users();

    foreach ( $users as $user ) {
        // Construir el nombre completo usando el nombre y apellido.
        $full_name = trim( $user->first_name . ' ' . $user->last_name );

        // Si el nombre completo construido no está vacío y es diferente al nombre mostrado actual, actualizarlo.
        if ( ! empty( $full_name ) && $full_name !== $user->display_name ) {
            wp_update_user( array( 'ID' => $user->ID, 'display_name' => $full_name ) );
        }
    }
}

// Llamar a la función para realizar la actualización.
update_existing_users_display_names();