Filtrar un segundo menú desplegable al elegir un valor en el primero

Vas a querer usar Ajax para hacer esto y que el segundo menú desplegable se cargue después de haber seleccionado el primero. No estoy seguro de un par de cosas que tienes ahí arriba, así que simplemente voy a codificarlo por ti, puede que tengas que cambiar algo aquí o allá, lo completaré lo mejor posible. Lo primero que hay que hacer es configurar una acción ajax. Esto debería configurarse idealmente dentro de un plugin. Se usa is_admin() porque cuando la solicitud Ajax se envía desde la página con tu lista desplegable, se ejecutará bajo admin. Si parece que estamos trabajando al revés, es solo un asunto de qué fue primero, el huevo o la gallina. ¿Qué fue primero, la solicitud o el manejador... el manejador, por supuesto, por eso empiezo aquí.

<?php
if ( is_admin() ) {
    // Añadimos 2 acciones, la primera para usuarios logueados, la segunda para invitados.
    add_action( 'wp_ajax_dynamic_dropdown', 'dynamic_dropdown_func' );
    add_action( 'wp_ajax_nopriv_dynamic_dropdown', 'dynamic_dropdown_func' );
}

// Esta es la función que manejará tu Solicitud/Respuesta Ajax
function dynamic_dropdown_func () {
    global $wpdb;
    if (isset($_POST['value'])) {
        $selected_option = $_POST['value'];
        // Este será tu segundo menú desplegable, se devolverá en una solicitud Ajax
        $args = array(
            'show_option_none' => __( 'Elige otro' ),
            'class' => 'dropper',
            'id' => 'dropper0',
            'orderby' => 'ID',
            'order' => 'ASC',
            'hide_empty' => 0,
            'hierarchical' => 1,
            'depth' => 1,
            // Esto es lo que nos dará los hijos de la primera opción seleccionada
            'child_of' => (int)$selected_option,
            'echo' => 0,
            // Asegúrate de cambiar esta constante por tu taxonomía
            'taxonomy' => MY_CUSTOM_TAX,
        );

        $my_second_dropdown = wp_dropdown_categories( $args );
        // Si quieres hacer algún preg_replace o str_replace, hazlo aquí antes del ob_clean()        
    }
    // ob_clean es para evitar errores, echos, cualquier cosa que se haya enviado a la salida hasta este punto en la instancia Ajax de WP que podría arruinar tu retorno.
    ob_clean();
    return $my_second_dropdown;
    wp_die();
}

Bien, ahora vamos a hacer la parte del frontend del código. Esta es la parte que verá el usuario. Cuando activen la Solicitud Ajax, al recibir la respuesta, el segundo menú debería cargarse. Normalmente, localizarías un archivo JavaScript con la variable para ajax_url y cualquier otro valor PHP que necesitemos usar en nuestro JS para enviar solicitudes Ajax a WP. Vamos a hacer un poco de trampa y simplemente imprimiremos nuestro script en la página y obtendremos el mismo resultado. Solo asegúrate de imprimir este script al final del body idealmente, o de lo contrario tendrás que añadir una función document ready, de todos modos no haría daño.

function my_frontend_javascript () {
    $ajax_url = admin_url( 'admin-ajax.php' );
    $javascript = "
        <script>
            var ajaxUrl = {$ajax_url},
            // Ahora vamos a capturar nuestros menús desplegables
                dropdownArome   = jQuery('#arome0'),
                dropdownDropper = jQuery('#dropper0');

            if (dropdownArome.length && dropdownDropper.length) {
                // Bien, nuestros elementos existen
                dropdownArome.on('change', function (e) {
                    var value = e.target.selectedOptions[0].value,
                        success,
                        data;
                    if (!!value) {
                        // Muy bien, enviemos ese valor a nuestro Script Ajax, nota que la acción es la misma que el hook de acción Ajax que usamos antes
                        data = {
                            'my_value' : value,
                            'action'   : 'dynamic_dropdown'
                        };
                        success = function ( response ) {
                            // Esta respuesta contendrá nuestras etiquetas <option>
                            dropdownDropper.html( response );
                        };
                        jQuery.post( ajaxUrl, data, success );
                    }
                });
            }
        </script>";
    return $javascript;
}

/** Aquí es donde construimos nuestro sitio/formulario/menús desplegables */

$args = array(
    'show_option_none' => __( 'Elige uno' ),
    'class' => 'arome',
    'id' => 'arome0"',
    'orderby' => 'ID',
    'order' => 'ASC',
    'hide_empty' => 0,
    'hierarchical' => 1,
    'depth' => 1,
    'echo' => 0,
    // Asegúrate de cambiar esta constante
    'taxonomy' => MY_CUSTOM_TAX,
);

$my_first_dropdown = wp_dropdown_categories( $args );

// Bien, ahora imprimimos los 2 menús desplegables, luego el JavaScript de la función que escribimos arriba
echo $my_first_dropdown;
echo '<br /><div id="dropper0-container"></div><br />';
echo my_frontend_javascript();

/** ¡Eso debería ser todo! Como dije, tendrás que ajustar algunas opciones para que se adapten a tu sitio y tu implementación. */

Así es como harías lo que intentas hacer de lo que supongo podría ser una de las formas más simples. Digo simple porque realmente no hicimos validación, nonce, básicamente asumimos que todo salió bien. Sugeriría leer más sobre Ajax en WP, incluso si ya sabes algo, nunca está de más saber más. Espero que este código funcione bien para ti con algunos ajustes.

http://codex.wordpress.org/AJAX_in_Plugins

http://www.smashingmagazine.com/2011/10/18/how-to-use-ajax-in-wordpress/