¿Hay alguna forma de enviar correos electrónicos con formato HTML usando la función wp_mail() de WordPress?

Como alternativa, puedes especificar el encabezado HTTP Content-Type en el parámetro $headers:

$to = 'sendto@example.com';
$subject = 'El asunto';
$body = 'El contenido del cuerpo del correo electrónico';
$headers = array('Content-Type: text/html; charset=UTF-8');

wp_mail( $to, $subject, $body, $headers );

No olvides eliminar el filtro del tipo de contenido después de usar la función wp_mail. Siguiendo la nomenclatura de la respuesta aceptada, deberías hacer esto después de que wp_mail se ejecute:

remove_filter( 'wp_mail_content_type','wpse27856_set_content_type' );

Revisa este ticket aquí - Restablecer content-type para evitar conflictos -- http://core.trac.wordpress.org/ticket/23578

Otra forma sencilla que voy a compartir a continuación. Incluso puedes dar estilo al cuerpo del correo como desees. Quizás te sea útil.

$email_to = 'someaddress@gmail.com';
$email_subject = 'Asunto del correo';

// <<<EOD es la sintaxis heredoc de PHP
$email_body = <<<EOD
Esta es tu nueva <b style="color: red; font-style: italic;">contraseña</b> : {$password}
EOD;

$headers = ['Content-Type: text/html; charset=UTF-8'];

$send_mail = wp_mail( $email_to, $email_subject, $email_body, $headers );

Más sobre la sintaxis heredoc de PHP https://www.php.net/manual/en/language.types.string.php#language.types.string.syntax.heredoc

Usa ob_start, ya que esto te permitirá utilizar variables/funciones de WP como bloginfo, etc.

Crea un archivo PHP y pega tu HTML en ese archivo (usa variables de WP dentro de ese archivo PHP si es necesario).

Utiliza el siguiente código:

 $to = 'Dirección de correo electrónico';
 $subject = 'Tu asunto';

 ob_start();
 include(get_stylesheet_directory() . '/plantilla-correo.php'); // Ruta del archivo de plantilla
 $body = ob_get_contents();
 ob_end_clean();

 $headers = array('Content-Type: text/html; charset=UTF-8','From: Prueba <prueba@prueba.com>');
 wp_mail( $to, $subject, $body, $headers );

Esto mantendrá tu código limpio y debido a ob_start también ahorraremos tiempo al cargar el archivo.