Usando Ajax en categorías y bucles de WordPress

Sí, esto es posible con WordPress, pero yo no usaría index.php sino una plantilla personalizada front-page.php, luego crear una página llamada "inicio" y configurarla como página frontal en opciones-generales.

Para tu menú de categorías:

<?php
$categories = get_categories(); ?>

<ul id="menu-categorias">
    <?php foreach ( $categories as $cat ) { ?>
    <li id="cat-<?php echo $cat->term_id; ?>"><a class="<?php echo $cat->slug; ?> ajax" onclick="cat_ajax_get('<?php echo $cat->term_id; ?>');" href="#"><?php echo $cat->name; ?></a></li>
    <?php } ?>
</ul>

Donde llamamos a nuestra función jQuery ajax cuando se hace clic en una categoría y pasamos el ID de la categoría a jQuery en el nombre de la función.

El marcador de posición HTML donde se cargarán tus publicaciones vía ajax:

<div id="animacion-carga" style="display: none;"><img src="<?php echo admin_url( 'images/loading-publish.gif' ); ?>" alt="Cargando contenido" title="Cargando publicaciones..." /></div>
<div id="contenido-categoria"></div>

La función jQuery llamada a través del manejador onclick en los elementos del menú:

<script>
function cat_ajax_get(catID) {
    jQuery("a.ajax").removeClass("actual");
    jQuery("a.ajax").addClass("actual"); //añade clase actual al ítem de menú de categoría que se muestra para poder estilizarlo con css
    jQuery("#animacion-carga").show();
    var ajaxurl = '<?php echo admin_url('admin-ajax.php'); //debemos imprimirlo ?>';
    jQuery.ajax({
        type: 'POST',
        url: ajaxurl,
        data: {"action": "load-filter", cat: catID },
        success: function(response) {
            jQuery("#contenido-categoria").html(response);
            jQuery("#animacion-carga").hide();
            return false;
        }
    });
}
</script>

La función PHP de WordPress para devolver las publicaciones de la categoría seleccionada:

add_action('wp_ajax_nopriv_load-filter', 'prefix_load_cat_posts');
add_action('wp_ajax_load-filter', 'prefix_load_cat_posts');
function prefix_load_cat_posts() {
    $cat_id = $_POST['cat'];
    $args = array(
        'cat' => $cat_id,
        'posts_per_page' => 10,
        'order' => 'DESC'
    );

    $posts = get_posts($args);

    ob_start();

    foreach ($posts as $post) {
        setup_postdata($post); ?>

        <div id="post-<?php echo $post->ID; ?> <?php post_class(); ?>">
            <h1 class="titulo-post"><a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_title(); ?></a></h1>

            <div id="contenido-post">
                <?php the_excerpt(); ?>
            </div>
        </div>

    <?php }
    wp_reset_postdata();

    $response = ob_get_contents();
    ob_end_clean();

    echo $response;
    die(1);
}

Estamos usando el almacenamiento en búfer de salida (output buffering) que ayuda a prevenir que la función falle, lo que puede ocurrir a veces con Ajax en WordPress.