Как получить содержимое записи через ajax?

Во-первых, вы всегда должны использовать методы AJAX в WordPress, а не создавать для этого пользовательские функции. См. AJAX в плагинах в Кодексе.

С учетом этой практики вы можете настроить свой запрос следующим образом. Измените URL AJAX на

<?php echo admin_url('admin-ajax.php'); ?>

и добавьте ключ 'action': со значением имени конкретной функции WordPress, которую вы хотите выполнить на следующем шаге, когда сервер получит ваши данные.

$(".post_thumbnail").click(function () {
    var id_post = $(this).attr('post_id');
    $.ajax({
        type: 'POST',
        url: '<?php echo admin_url('admin-ajax.php'); ?>',
        data: {
            'post_id': id_post,
            'action': 'f711_get_post_content' // это имя метода AJAX, вызываемого в WordPress
        }, success: function (result) {
           alert(result);
        },
        error: function () {
            alert("error");
        }
    });
});

Теперь нужно сообщить WordPress, что делать, когда кто-то вызывает f711_get_post_content.

Зарегистрируйте действие в AJAX WordPress. Это делается в функциях вашего плагина. Первая часть ('wp_ajax_') сообщает WordPress, что это действие AJAX, а часть после этого - имя действия ('f711_get_post_content'). Второй аргумент - это функция, которую WordPress выполняет при вызове этого действия.

add_action( 'wp_ajax_f711_get_post_content', 'f711_get_post_content_callback' );
// Если вы хотите разрешить использование этой функции пользователям, не вошедшим в систему, зарегистрируйте ее еще раз с этой функцией:
add_action( 'wp_ajax_nopriv_f711_get_post_content', 'f711_get_post_content_callback' );

После этого создайте свою callback-функцию. Помните, что функции AJAX ВСЕГДА должны завершаться die(). Если ваша функция выводит JSON, что я рекомендую, вы можете завершить ее с помощью wp_send_json( $array );, которая включает в себя die().

function f711_get_post_content_callback() {

    // получаем post_id и очищаем его для повышения безопасности
    $post_id = intval($_POST['post_id'] );

    // Проверяем, было ли введено корректное целое число
    if ( $post_id == 0 ) {
        echo "Неверный ввод";
        die();
    }

    // получаем запись
    $thispost = get_post( $post_id );

    // проверяем, существует ли запись
    if ( !is_object( $thispost ) ) {
        echo 'Запись с ID ' . $post_id . ' не существует';
        die();
    }

    echo $thispost->post_content; // Возможно, вы захотите вывести wpautop( $thispost->post_content );

    die();
}

Это рекомендуемая версия с JSON. Она позволяет передавать несколько переменных обратно клиенту.

function f711_get_post_content_callback() {

    // получаем post_id и очищаем его для повышения безопасности
    $post_id = intval($_POST['post_id'] );

    // Проверяем, было ли введено корректное целое число
    if ( $post_id == 0 ) {

        $response['error'] = 'true';
        $response['result'] = 'Неверный ввод';

    } else {

        // получаем запись
        $thispost = get_post( $post_id );

        // проверяем, существует ли запись
        if ( !is_object( $thispost ) ) {

            $response['error'] = 'true';
            $response['result'] =  'Запись с ID ' . $post_id . ' не существует';

        } else {

            $response['error'] = 'false';
            $response['result'] = wpautop( $thispost->post_content );

        }

    }

    wp_send_json( $response );

}