wp_mail не отправляет письма

ОЙ-ЁЙ. Здесь очень много ошибок.

1. Вы должны обрабатывать данные $_POST, иначе могут произойти очень плохие вещи...

2. Лучше использовать одинарные кавычки для строк в WordPress

3. Отступы и пробелы не соответствуют лучшим практикам.

4. Вы ничего не делаете с $_POST['name'] ???

5. Вы вызываете $_POST["email"], но не передаете его через форму, что приведет к ошибкам неопределенной переменной (ИСПОЛЬЗУЙТЕ WP DEBUG !!! ВКЛЮЧИТЕ ЕГО)

6. Важно проверять все значения $_POST, а не только одно, потому что кто-то может изменить форму или спамер может отправить письмо без заполнения всех полей, что снова приведет к ошибкам неопределенной переменной.

7. У wp_mail должна быть точка с запятой в конце

8. У вас отсутствует закрывающая скобка, PHP код не будет работать.

9. Else не нужен

10. Лучше использовать wp_die, если форма была изменена. Если вы не хотите плохого пользовательского опыта, просто используйте HTML-атрибут required в полях ввода.

11. Нет необходимости в закрывающих div после полей ввода

12. Лучше использовать CSS и нативный Bootstrap для обработки заглавных букв.

PHP код

<?php 

if ( isset( $_POST["button_pressed"] ) ) {
  // Проверка на пустые поля..
  if ( empty( $_POST['dname'] ) || empty( $_POST['name'] ) ) {
    wp_die( __( 'Пожалуйста, заполните все поля в следующий раз.', 'your-text-domain' ) );
  }
  $message  = sanitize_text_field( $_POST['dname'] );
  // $email    = sanitize_email( $_POST["email"] );
  $name     = sanitize_text_field( $_POST['name'] );
  $headers  = 'From:' . "\r\n"; // Email отправителя
  $headers .= 'Cc:' . "\r\n"; // Копия письма отправителю
  // Отправка письма
  wp_mail( 'PRIVATE-EMAIL-ADDRESS', $subject, $message, $headers );
  // Показать сообщение и скрыть форму
  _e( 'Ваше письмо успешно отправлено! Спасибо за обратную связь.', 'your-text-domain' ); 
  echo '<style>#contact-form{ display: none; }</style>';
}

?>

HTML разметка

<form action="" id="contact-form" method="post">
  <div class="row">
    <div class="form-group">
      <div class="col-sm-6">
        <input class="form-control text-uppercase" type="text" placeholder="<?php _e( 'Введите имя собаки', 'your-text-domain' ); ?>" name="dname" required>
      <div class="col-sm-6">
        <input class="form-control text-uppercase" type="text" placeholder="<?php _e( 'Введите имя владельца', 'your-text-domain' ); ?>" name="name" required>
      </div>
    </div>
  </div>
  <input type="submit" value="ОТПРАВИТЬ" />
  <input type="hidden" name="button_pressed" value="1" />
</form>

Я проверил ваш код. Думаю, заголовок определен неправильно. Пожалуйста, проверьте код ниже:

$current_user  = wp_get_current_user();
$name          = sanitize_text_field($_POST["name"]);
$email_address = sanitize_email($_POST["email_address"]);
$detail        = esc_textarea($_POST["detail"]);
$message       = "Имя : " . $name . "\n";
$message .= "Email : " . $email_address . "\n";
$message .= "Детали : " . $detail . "\n";
$send_to = 'test@test.com';

$headers = 'From: ' . $current_user->user_firstname . ' ' . $current_user->user_lastname . ' <test@test.com>' . "\r\n";

if (wp_mail($send_to, $email_subject, $message, $headers)) {

  wp_redirect(admin_url('admin.php?page=contact-page&msg=success'));

  exit();
} else {

  wp_redirect(admin_url('admin.php?page=contact-page&msg=failed'));

  exit();
}