wp_mail no envía correos electrónicos - Solución

YIKESSSSSS. Hay muchas cosas mal aquí.

1. Debes sanitizar los datos de $_POST o cosas muy muy malas pueden pasar...

2. Es mejor usar comillas simples para cadenas en WordPress

3. El espaciado y la indentación no siguen las mejores prácticas.

4. ¿No estás haciendo nada con $_POST['name']?

5. Estás llamando a $_POST["email"] pero no lo pasas a través del formulario de ejemplo, lo que resultará en errores de variable indefinida (¡¡¡USA WP_DEBUG !!! PONLO EN TRUE)

6. Es importante verificar todos los valores de $_POST, no solo uno, porque alguien podría manipular el formulario o un spammer podría enviar un correo sin el formulario, lo que causaría errores de variable indefinida nuevamente.

7. wp_mail debería tener un punto y coma al final

8. Te falta un corchete de cierre, el PHP nunca funcionaría.

9. El else no es necesario

10. Es mejor usar wp_die si hay manipulación del formulario. Si no quieres mala experiencia de usuario, simplemente usa el atributo required HTML en los campos de entrada.

11. No necesitas divs de cierre después de los campos de entrada

12. Es mejor usar CSS y Bootstrap nativo para manejar las letras mayúsculas.

el php

<?php 

if ( isset( $_POST["button_pressed"] ) ) {
  // Verificando campos vacíos...
  if ( empty( $_POST['dname'] ) || empty( $_POST['name'] ) ) {
    wp_die( __( 'Por favor completa todos los campos la próxima vez.', 'your-text-domain' ) );
  }
  $message  = sanitize_text_field( $_POST['dname'] );
  // $email    = sanitize_email( $_POST["email"] );
  $name     = sanitize_text_field( $_POST['name'] );
  $headers  = 'From:' . "\r\n"; // Correo del remitente
  $headers .= 'Cc:' . "\r\n"; // Copia al remitente
  // Enviar correo
  wp_mail( 'PRIVATE-EMAIL-ADDRESS', $subject, $message, $headers );
  // Mostrar mensaje y ocultar el formulario
  _e( '¡Tu correo ha sido enviado con éxito! Gracias por tu feedback.', 'your-text-domain' ); 
  echo '<style>#contact-form{ display: none; }</style>';
}

?>

y el html markup

<form action="" id="contact-form" method="post">
  <div class="row">
    <div class="form-group">
      <div class="col-sm-6">
        <input class="form-control text-uppercase" type="text" placeholder="<?php _e( 'Ingresa el nombre del perro', 'your-text-domain' ); ?>" name="dname" required>
      <div class="col-sm-6">
        <input class="form-control text-uppercase" type="text" placeholder="<?php _e( 'Ingresa el nombre del dueño', 'your-text-domain' ); ?>" name="name" required>
      </div>
    </div>
  </div>
  <input type="submit" value="ENVIAR" />
  <input type="hidden" name="button_pressed" value="1" />
</form>

He revisado tu código. Creo que el encabezado no está definido correctamente. Por favor, revisa el código a continuación:

$current_user  = wp_get_current_user();
$name          = sanitize_text_field($_POST["name"]);
$email_address = sanitize_email($_POST["email_address"]);
$detail        = esc_textarea($_POST["detail"]);
$message       = "Nombre : " . $name . "\n";
$message .= "Dirección de correo : " . $email_address . "\n";
$message .= "Detalle : " . $detail . "\n";
$send_to = 'test@test.com';

$headers = 'From: ' . $current_user->user_firstname . ' ' . $current_user->user_lastname . ' <test@test.com>' . "\r\n";

if (wp_mail($send_to, $email_subject, $message, $headers)) {

  wp_redirect(admin_url('admin.php?page=contact-page&msg=success'));

  exit();
} else {

  wp_redirect(admin_url('admin.php?page=contact-page&msg=failed'));

  exit();
}