Añadir botón a la página de edición de posts cuando post_status=publish

Esto te ayudará a comenzar;

add_action( 'post_submitbox_misc_actions', 'custom_button' );

function custom_button(){
        $html  = '<div id="major-publishing-actions" style="overflow:hidden">';
        $html .= '<div id="publishing-action">';
        $html .= '<input type="submit" accesskey="p" tabindex="5" value="¡Personalízame!" class="button-primary" id="custom" name="publish">';
        $html .= '</div>';
        $html .= '</div>';
        echo $html;
}

Añade un botón personalizado al Meta Box de Publicación - ejemplo;

Hasta ahora aún necesitas;

• registrar el botón personalizado solo en tu tipo de entrada personalizado
• escribir una verificación condicional para mostrar el botón solo cuando el post tenga un post_status de publicado
• escribir una función personalizada para llamar a tu servicio personalizado

Debo irme ahora, pero intenta abordar los puntos anteriores y publica tus resultados. Volveré mañana para ver en qué punto estás y si alguien más puede ayudar a avanzar.

Gracias userabuser por el punto de partida. Creo que el código ampliado se vería más parecido a:

add_action( 'post_submitbox_misc_actions', 'custom_button', 10, 1 );

function custom_button( $post ) {

    // Mostrar solo para páginas publicadas.
    if ( ! $post
         || 'publish' !== $post->post_status
         || 'page' !== $post->post_type ) {
        return;
    }

    $html = '<div id="major-publishing-actions" style="overflow:hidden">';
    $html .= '<div id="publishing-action">';
    $html .= '<input type="submit" accesskey="p" tabindex="5" value="Botón Personalizado" class="button-primary" id="submitbox-custom-button" name="publish">';

    // Ejemplo de metadatos del post.
    $user = get_user_by( 'ID', get_post_meta( $post->ID, '_edit_last', true ) );
    if ( $user ) {
        $html .= '<div>' . ucfirst( $post->post_type ) . ' ' . $post->ID . ' editado por última vez por ' . $user->display_name . '</div>';
    }

    $html .= '</div>';
    $html .= '</div>';

    // Personalizar el evento de clic del botón.
    $html .= "<script>window.addEventListener('load', function(){ jQuery('input#submitbox-custom-button').click(function(event){  event.preventDefault(); alert('Estás editando " . $post->post_type . " " . $post->ID . "'); return true; }); }); </script>";

    echo $html;
}

Existen varias formas de implementar la capa de servicio, así que no es necesario resolver ese problema de más de 5 años hoy. Pero esto debería ser un buen punto de partida para copiar/pegar para cualquiera en el futuro y funcionará de inmediato.

Obviamente es mejor incluir tu JS en un archivo cargado por separado, pero si prefieres hackear un JS más legible puedes usar ob_start y ob_get_clean.

ob_start(); ?>
<script>window.addEventListener('load', function() {
    jQuery('input#submitbox-custom-button').click(function(event) {
      event.preventDefault();
      alert('Estás editando <?php echo $post->post_type . " " . $post->ID; ?>');
      return true;
    });
  });
</script>
<?php $html .= ob_get_clean();

Usar el hook post_submitbox_misc_actions es una forma apropiada, pero no deberías usar IDs del DOM dos veces como se sugiere en respuestas anteriores. Por lo tanto, tu salida HTML debería verse así:

add_action( 'post_submitbox_misc_actions', function( $post ){
    // verificar algo usando el objeto $post
    if ( get_post_status( $post->ID ) === 'publish' ){
        echo '<div class="misc-pub-section">Algún botón...</div>';
    }
});

Ver: https://developer.wordpress.org/reference/functions/post_submit_meta_box/