Добавить кнопку на страницу редактирования записи при post_status=publish

Это поможет вам начать:

add_action( 'post_submitbox_misc_actions', 'custom_button' );

function custom_button(){
        $html  = '<div id="major-publishing-actions" style="overflow:hidden">';
        $html .= '<div id="publishing-action">';
        $html .= '<input type="submit" accesskey="p" tabindex="5" value="Настроить меня!" class="button-primary" id="custom" name="publish">';
        $html .= '</div>';
        $html .= '</div>';
        echo $html;
}

Добавляет кастомную кнопку в метабокс публикации - пример:

На данный момент вам еще нужно:

• зарегистрировать кастомную кнопку только для вашего типа записи
• написать проверку условия для показа кнопки только когда запись имеет статус publish
• написать кастомную функцию для вызова вашего сервиса

Мне нужно идти, но попробуйте разобраться с пунктами выше и опубликуйте ваши результаты. Я вернусь завтра, чтобы посмотреть, как у вас дела, и смогу ли я или кто-то еще помочь дальше.

Спасибо userabuser за отправную точку. Я считаю, что расширенный код будет выглядеть примерно так:

add_action( 'post_submitbox_misc_actions', 'custom_button', 10, 1 );

function custom_button( $post ) {

    // Показывать только для опубликованных страниц.
    if ( ! $post
         || 'publish' !== $post->post_status
         || 'page' !== $post->post_type ) {
        return;
    }

    $html = '<div id="major-publishing-actions" style="overflow:hidden">';
    $html .= '<div id="publishing-action">';
    $html .= '<input type="submit" accesskey="p" tabindex="5" value="Custom Button" class="button-primary" id="submitbox-custom-button" name="publish">';

    // Пример работы с метаданными записи.
    $user = get_user_by( 'ID', get_post_meta( $post->ID, '_edit_last', true ) );
    if ( $user ) {
        $html .= '<div>' . ucfirst( $post->post_type ) . ' ' . $post->ID . ' последний раз редактировалась пользователем ' . $user->display_name . '</div>';
    }

    $html .= '</div>';
    $html .= '</div>';

    // Настройка события клика по кнопке.
    $html .= "<script>window.addEventListener('load', function(){ jQuery('input#submitbox-custom-button').click(function(event){  event.preventDefault(); alert('Вы редактируете " . $post->post_type . " " . $post->ID . "'); return true; }); }); </script>";

    echo $html;
}

Существует несколько способов реализации сервисного слоя, поэтому нет необходимости решать эту 5+ летнюю проблему сегодня. Но этот код должен стать хорошей отправной точкой для копирования/вставки в будущем и будет работать "из коробки".

Очевидно, что лучше подключать ваш JS в отдельном файле, но если вы хотите добавить более читаемый JS, вы можете использовать ob_start и ob_get_clean.

ob_start(); ?>
<script>window.addEventListener('load', function() {
    jQuery('input#submitbox-custom-button').click(function(event) {
      event.preventDefault();
      alert('Вы редактируете <?php echo $post->post_type . " " . $post->ID; ?>');
      return true;
    });
  });
</script>
<?php $html .= ob_get_clean();

Использование хука post_submitbox_misc_actions является подходящим способом, но не следует использовать идентификаторы DOM дважды, как предлагалось в предыдущих ответах. Таким образом, ваш HTML вывод должен выглядеть так:

add_action( 'post_submitbox_misc_actions', function( $post ){
    // проверяем что-то, используя объект $post
    if ( get_post_status( $post->ID ) === 'publish' ){
        echo '<div class="misc-pub-section">Какая-то кнопка...</div>';
    }
});

Смотрите: https://developer.wordpress.org/reference/functions/post_submit_meta_box/