Añadir clase a before_widget desde dentro de un widget personalizado

Puedes usar el gancho de filtro dynamic_sidebar_params para encontrar tu widget y agregarle tus clases:

add_filter('dynamic_sidebar_params', 'add_classes_to__widget'); 
function add_classes_to__widget($params){
    if ($params[0]['widget_id'] == "my-widget-1"){ //asegúrate de que sea el ID de tu widget aquí
        // es tu widget, así que agregas tus clases
        $classe_to_add = 'col480 whatever bla bla '; // asegúrate de dejar un espacio al final
        $classe_to_add = 'class=" '.$classe_to_add;
        $params[0]['before_widget'] = str_replace('class="',$classe_to_add,$params[0]['before_widget']);
    }
    return $params;
} 

Otra forma que encontré para agregar una clase a un widget personalizado es usar la clave 'classname' en la función constructora como en:

class My_Widget_Class extends WP_Widget {
// En PHP anterior a 5 se usa el nombre de la clase hija para el constructor…
// function My_Widget_Class()
       function __construct() {
            $widget_ops = array(
                'classname' => 'my-class-name',
                'description' => __("Widget por el bien de la Humanidad",'themedomain'),
            );
            $control_ops = array(
                'id_base' => 'my-widget-class-widget'
            );
   // más código después...

   // Llama al constructor padre, puedes sustituir el 1er argumento por $control_ops['id_base'] y quitar el 4to.
            parent::__construct(@func_get_arg(0),@func_get_arg(1),$widget_ops,$control_ops);
        }
}

Y asegúrate de usar el 'before_widget' por defecto en tu tema o si usas register_sidebar() en function.php, hazlo así:

// Esto es solo un ejemplo.
register_sidebar(array(
          'name'=> 'Barra lateral',
            'id' => 'sidebar-default',
            'class' => '',// Nunca encontré dónde se usa esto...
            'description' => 'Una barra lateral para la Humanidad',
            'before_widget' => '<aside id="%1$s" class="widget %2$s">',// ¡Este es el código importante!
            'after_widget' => '</aside>',
            'before_title' => '<h3>',
            'after_title' => '</h3>',
        ));

Entonces, en cada instancia de tu widget, tendrás la clase 'widget my-class-name' así:

<aside class="widget my-class-name" id="my-widget-class-widget-N"><!-- donde N es un número -->
  <h3>TÍTULO DEL WIDGET</h3>
  <p>CONTENIDO DEL WIDGET</p>
</aside>

También puedes llamar primero al constructor padre y luego añadir cualquier nombre de clase que desees:

class My_Widget_Class extends WP_Widget {
    // Mejor definiendo la lista de argumentos del padre…
    function __construct($id_base, $name, $widget_options = array(), $control_options = array())
    {    parent::__construct($id_base, $name, $widget_options, $control_options);
         // Cambia el nombre de la clase después
         $this->widget_options['classname'].= ' alguna-extra';
    }
}

primero añade una clase de marcador de posición personalizada en el constructor

<?php
public function __construct() {
   $widget_ops  = array(
      'classname'                   =>; 'widget_text eaa __eaa__', //__eaa__ es mi clase css de marcador de posición
      'description'                 =>; __( 'Anuncios de AdSense, texto arbitrario, HTML o JS.','eaa' ),
      'customize_selective_refresh' =>; true,
   );
   $control_ops = array( 'width' =>; 400, 'height' =>; 350 );
   parent::__construct( 'eaa', __( 'Easy AdSense Ads &amp; Scripts', 'eaa' ), $widget_ops, $control_ops );
}
?>

Luego reemplázala con la(s) clase(s) de tu elección basado en las opciones del widget así

<?php
if ( $instance['no_padding'] ) {
   $args['before_widget'] = str_replace( '__eaa__', 'eaa-clean', $args['before_widget'] );
}
?>

Puedes encontrar los detalles con un ejemplo en http://satishgandham.com/2017/03/adding-dynamic-classes-custom-wordpress-widgets/

Puedes probar este filtro:

/**
 * Esta función recorre todos los widgets en la barra lateral 
 * y añade un valor del formulario de administración al widget como nombre de clase  
 *  
 * @param array $params Array de widgets en la barra lateral
 * @return array
*/

add_filter( 'dynamic_sidebar_params', 'nen_lib_add_class_to_widget' );
function nen_lib_add_class_to_widget( $params )
{
    foreach( $params as $key => $widget )
    {
        if( !isset($widget['widget_id']) ) continue;

        // mi función personalizada para obtener datos del widget desde el formulario de administración (objeto)
        $widget_data = nen_get_widget_data($widget['widget_id']) ;

        // comprobar si el campo existe y tiene valor
        if( isset($widget_data->wm_name) && $widget_data->wm_name )
        {
            // convertir y poner el valor en un array
            $classes = array( sanitize_title( $widget_data->wm_name ) );

            // añadir filtro, para poder agregar más
            $classes = apply_filters( 'nen_lib_add_class_to_widget' , $classes , $widget['widget_id'] , $widget , $widget_data  );

            // obtener elemento 'before_widget', establecer buscar y reemplazar
            $string     = $params[$key]['before_widget'];
            $find       = '"widget ';
            $replace    = '"widget '.implode( ' ' , $classes ).' ';

            // nuevo valor
            $new_before = str_replace( $find , $replace , $string ) ;

            // establecer nuevo valor
            $params[$key]['before_widget'] = $new_before;
        }
    }
    return $params;
}