Cómo mostrar los nombres de las etiquetas de productos de WooCommerce en la página de inicio y páginas de categorías

Creo que get_the_tag_list solo se usa para las etiquetas predeterminadas de WordPress. Las etiquetas de productos de WooCommerce son una taxonomía personalizada llamada product_tag. Por lo tanto, no puedes usar esta función para devolver estas etiquetas. (por favor, corríjanme si estoy equivocado aquí).

En su lugar, podrías usar la función get_the_terms() de WordPress para obtener un resultado "similar".

Básico:

// obtener product_tags del producto actual
$current_tags = get_the_terms( get_the_ID(), 'product_tag' );

// solo comenzar si tenemos algunas etiquetas
if ( $current_tags && ! is_wp_error( $current_tags ) ) { 

    // crear una lista para contener nuestras etiquetas
    echo '<ul class="product_tags">';

    // para cada etiqueta creamos un elemento de lista
    foreach ($current_tags as $tag) {

        $tag_title = $tag->name; // nombre de la etiqueta
        $tag_link = get_term_link( $tag );// enlace del archivo de la etiqueta

        echo '<li><a href="'.$tag_link.'">'.$tag_title.'</a></li>';
    }

    echo '</ul>';
}

Si deseas usar un separador especial y demás, tendrás que ajustarlo.

Actualización para separadores:

Tienes algunas opciones sobre cómo quieres eliminar el último separador o lidiar con los separadores en general aquí.

El primer método es usar solo CSS. Para esto, primero envolvemos cada $tag_title en un elemento HTML (aquí un <span>). Hacemos esto para poder apuntar a cada título.

// para cada etiqueta creamos un elemento de lista
foreach ($current_tags as $tag) {

    $tag_title = $tag->name; // nombre de la etiqueta

    echo '<span>'.$tag_title.'</span>';
}

Luego simplemente agregamos 2 nuevos estilos CSS (usando tu marcado):

/* agregar " · " después de cada elemento span dentro de .woocommerce-Price-amount */
.woocommerce-Price-amount span:after { content: " · "; }

/* establecer el contenido a nada/eliminar " · " en el último elemento span */
.woocommerce-Price-amount span:last-child:after { content: ""; }

También puedes agregar un separador vía PHP.
Para esto, primero necesitamos obtener un nuevo arreglo de todas las claves de nuestro arreglo $current_tags. Luego buscamos la última clave encontrada en este nuevo arreglo. Después de esto, usamos un foreach loop y en ese comparamos la clave actual con la última clave encontrada. Si estas dos son iguales, sabemos que tenemos el último elemento.

Cambia tu función if:

// solo comenzar si tenemos algunas etiquetas
if ( $current_tags && ! is_wp_error( $current_tags ) ) { 

    // crear una lista para contener nuestras etiquetas
    echo '<span class="woocommerce-Price-amount amount">';

    // obtener todas las claves del arreglo $current_tags
    $get_keys = array_keys($current_tags);

    // obtener la última clave de nuestras claves
    $last_key = array_pop($get_keys);

    // para cada etiqueta creamos un elemento de lista
    foreach ($current_tags as $key => $value) {

        $tag_title = $value->name; // nombre de la etiqueta

        if($key == $last_key) {
            echo $tag_title;
        } else {
            echo $tag_title.' · ';
        }

    }
    echo '</span>';
}

P.D. ¡Revisa tu código! En el fragmento que publicaste hay un error al final echo '</span> }. Te falta una '