Cómo obtener el nombre de la categoría principal en la nueva versión de WordPress

He editado la función MMT Designer. Esto funciona mejor para mí:

if ( ! function_exists( 'get_primary_taxonomy_id' ) ) {
    function get_primary_taxonomy_id( $post_id, $taxonomy ) {
        $prm_term = '';
        if (class_exists('WPSEO_Primary_Term')) {
            $wpseo_primary_term = new WPSEO_Primary_Term( $taxonomy, $post_id );
            $prm_term = $wpseo_primary_term->get_primary_term();
        }
        if ( !is_object($wpseo_primary_term) || empty( $prm_term ) ) {
            $term = wp_get_post_terms( $post_id, $taxonomy );
            if (isset( $term ) && !empty( $term ) ) {
                return $term[0]->term_id;
            } else {
                return '';
            }
        }
        return $wpseo_primary_term->get_primary_term();
    }
}

Para responder a tu segunda pregunta: get_categories() te permite pasar muchos argumentos, uno de los cuales son las categorías hijas.

Primero obtén la categoría padre. He usado get_category_by_slug aquí, pero podrías usar cualquier otra forma de obtenerla, por ejemplo la función de Yoast para recuperar la categoría principal.

$category = get_category_by_slug( 'nombre-de-la-categoria' );

Luego obtén todas las categorías hijas:

$args = array(
'type'                     => 'post',
'child_of'                 => $category->term_id,
'orderby'                  => 'name',
'order'                    => 'ASC', // o cualquier orden que prefieras
'hide_empty'               => FALSE,
'hierarchical'             => 1,
'taxonomy'                 => 'category',
); 
$child_categories = get_categories($args );

Finalmente selecciona el primer elemento si existe alguno:

if !empty($child_categories) $first_child = $child_categories[0];

esto no es para WordPress sino para un plugin de SEO, podrías usar la siguiente función

function get_post_primary_category($post_id, $term='category', 
   $return_all_categories=false){
   $return = array();

if (class_exists('WPSEO_Primary_Term')){
    // Mostrar la categoría primaria de Yoast si está habilitada y configurada
    $wpseo_primary_term = new WPSEO_Primary_Term( $term, $post_id );
    $primary_term = get_term($wpseo_primary_term->get_primary_term());

    if (!is_wp_error($primary_term)){
        $return['primary_category'] = $primary_term;
    }
}

if (empty($return['primary_category']) || $return_all_categories){
    $categories_list = get_the_terms($post_id, $term);

    if (empty($return['primary_category']) && !empty($categories_list)){
        $return['primary_category'] = $categories_list[0];  //obtener la primera

    }
    if ($return_all_categories){
        $return['all_categories'] = array();

        if (!empty($categories_list)){
            foreach($categories_list as &$category){
                $return['all_categories'][] = $category->term_id;
            }
        }
    }
}

return $return;
}

esta función fue escrita por lab21.gr

Una solución nativa de WordPress para devolver la categoría padre actual.

function primary_categories($arr_excluded_cats) {

if($arr_excluded_cats == null) {
    $arr_excluded_cats = array();
}

$post_cats = get_the_category();

$args = array(
  'orderby' => 'name',
  'order' => 'ASC',
  'parent' => 0
);

    $primary_categories = get_categories($args);

    foreach ($primary_categories as $primary_category) {

        foreach ($post_cats as $post_cat) {
            if(($primary_category->slug == $post_cat->slug) && (!in_array($primary_category->slug, $arr_excluded_cats))) {
                return $primary_category->slug;
            }
        }
    }
}

//si tienes más de dos categorías padres asociadas al post, puedes eliminar las que no quieras aquí
$dont_return_these = array(
        'receitas','enciclopedico'
    );

//usa la función así:
echo primary_categories($dont_return_these);

Comentarios:

• si solo tienes una categoría padre por post, pasa null en lugar de un array
• si quieres otra salida en lugar del slug cambia esto: return $primary_category-> slug;

Acabo de refactorizar la respuesta de Eqhes. Un código un poco más limpio :)

if (!function_exists('get_primary_taxonomy_id')) {
    function get_primary_taxonomy_id($post_id, $taxonomy) {
        $prm_term = '';
        $wpseo_primary_term = '';

        // Verifica si existe la clase WPSEO_Primary_Term de Yoast SEO
        if (class_exists('WPSEO_Primary_Term')) {
            $wpseo_primary_term = new WPSEO_Primary_Term($taxonomy, $post_id);
            $prm_term = $wpseo_primary_term->get_primary_term();
        }

        // Si hay un término primario definido en Yoast SEO, lo retorna
        if (is_object($wpseo_primary_term) && !empty($prm_term)) {
            return $wpseo_primary_term->get_primary_term();
        }

        // Si no hay término primario en Yoast, obtiene el primer término de la taxonomía
        $term = wp_get_post_terms($post_id, $taxonomy);

        // Si hay términos asociados, retorna el ID del primer término
        if (isset($term) && !empty($term)) {
            return $term[0]->term_id;
        }

        // Si no hay términos, retorna cadena vacía
        return '';
    }
}

Utilizo el plugin sCategory Permalink https://wordpress.org/plugins/scategory-permalink/

$category_primary_id = get_post_meta(get_the_ID(), '_category_permalink', true);
if (!empty($category_primary_id)) {
    $category = get_category($category_primary_id);
    var_dump($category->name);
}