¿Cómo obtener el título del current-menu-item como variable?

Puedes usar wp_get_nav_menu_items(). Aquí tienes un ejemplo de function:

<?php
function my_get_menu_item_name( $loc ) {
    global $post;

    $locs = get_nav_menu_locations();

    $menu = wp_get_nav_menu_object( $locs[$loc] );

    if($menu) {

        $items = wp_get_nav_menu_items($menu->term_id);

        foreach ($items as $k => $v) {
            // Verifica si este elemento del menú enlaza a la página actual
            if ($items[$k]->object_id == $post->ID) {
                $name = $items[$k]->title;
                break;
            }
        }

    }
    return $name;
}

Luego llama a la function con el nombre de la ubicación del menú de navegación que deseas usar:

<?php
$menu_name = my_get_menu_item_name( 'NAV_MENU_LOCATION_NAME' ); // ej. 'primary'

echo $menu_name;

add_filter( 'wp_nav_menu_objects', 'wpse16243_wp_nav_menu_objects' );
function wpse16243_wp_nav_menu_objects( $sorted_menu_items )
{
    // Recorre los elementos del menú ordenados
    foreach ( $sorted_menu_items as $menu_item ) {

        if ($menu_item->current ) {
            $GLOBALS['currentMenuTitle'] = $menu_item->title;
            $GLOBALS['currentMenuID'] = $menu_item->ID;

            break;
        }
    }

    return $sorted_menu_items;
}

function get_menu_items_children( $menu_item_id='' )
{   
    global $wpdb;

    // Y meta_key='_menu_item_menu_item_parent'
    
    $myrows = $wpdb->get_results( "SELECT * FROM $wpdb->postmeta JOIN $wpdb->posts ON $wpdb->postmeta.post_id=$wpdb->posts.id WHERE meta_value = '".$menu_item_id."' AND meta_key='_menu_item_menu_item_parent' ORDER BY $wpdb->posts.menu_order ASC" );

    // Recorre los resultados del menú
    foreach ( $myrows as $menu_item ) {

        $sc = get_object_vars($menu_item);  

        $myrowsb = $wpdb->get_results( "SELECT * FROM $wpdb->postmeta WHERE post_id = '".$sc['post_id']."' AND meta_key='_menu_item_object_id' " );

        // Recorre los elementos secundarios del menú
        foreach ( $myrowsb as $menu_itemb ) {

            $scb = get_object_vars($menu_itemb);    
            $pmIDs[] = $scb['meta_value'];

        }

    }

    return $pmIDs;
}

No estoy seguro de entender exactamente.

El texto "Museos que Apoyamos" se genera a partir de un Título de Entrada, Título de Página, Título de Categoría, etc. (o, si estás usando un Menú de Navegación Personalizado, podría ser un Título personalizado).

¿Qué estás intentando hacer con este texto? ¿Dónde intentas mostrarlo? Asumo que estás intentando mostrarlo en la Página de Índice de Categoría (ya que indicas que es current-menu-item)? Si es así, simplemente llama a <?php single_cat_title(); ?> para mostrar el Título de la Categoría.

Si necesitas información adicional de la categoría, puedes usar algo como:

$cat = get_the_category();
$currentcat = $cat[0];

Lo cual hace disponibles las siguientes variables:

$currentcat=>cat_ID // ID de la Categoría
$currentcat=>cat_name // Nombre de la Categoría (Igual que el Título)
$currentcat=>category_nicename // Slug de la Categoría
$currentcat=>category_description // Descripción de la Categoría
$currentcat=>category_count // Conteo de la Categoría (# de Entradas con esta Categoría)

Si estás en algún lugar diferente a la Página de Índice de Categoría, necesitarás pasar el $catid a estas funciones.

EDITADO:

Como indicaste que "Museos que Apoyamos" es un Título de Menú personalizado, el enfoque más fácil sería renombrar la Categoría de "Museos" a "Museos que Apoyamos" (nota: puedes dejar el slug, museums, sin cambios). Sin embargo, hacer esto significaría que "Museos que Apoyamos" se mostraría como el Título de Categoría dondequiera que se muestre en tu plantilla. Si eso es aceptable, entonces no hay problema.

De lo contrario, tendrás que usar algo como wp_get_nav_menu_items() (Referencia del Codex) para obtener el Título del elemento específico del menú.