Как получить заголовок текущего пункта меню в виде переменной?

Вы можете использовать функцию wp_get_nav_menu_items(). Вот пример функции:

<?php
function my_get_menu_item_name( $loc ) {
    global $post;

    $locs = get_nav_menu_locations();

    $menu = wp_get_nav_menu_object( $locs[$loc] );

    if($menu) {

        $items = wp_get_nav_menu_items($menu->term_id);

        foreach ($items as $k => $v) {
            // Проверяем, ссылается ли этот пункт меню на текущую страницу
            if ($items[$k]->object_id == $post->ID) {
                $name = $items[$k]->title;
                break;
            }
        }

    }
    return $name;
}

Затем вызовите функцию, указав название области для меню навигации, которое вы хотите использовать:

<?php
$menu_name = my_get_menu_item_name( 'NAV_MENU_LOCATION_NAME' ); // например, 'primary'

echo $menu_name;

add_filter( 'wp_nav_menu_objects', 'wpse16243_wp_nav_menu_objects' );
function wpse16243_wp_nav_menu_objects( $sorted_menu_items )
{
    foreach ( $sorted_menu_items as $menu_item ) {

        if ($menu_item->current ) {
            $GLOBALS['currentMenuTitle'] = $menu_item->title;
            $GLOBALS['currentMenuID'] = $menu_item->ID;

            break;
        }
    }

    return $sorted_menu_items;
}

function get_menu_items_children( $menu_item_id='' )
{   
    global $wpdb;

      //     AND meta_key='_menu_item_menu_item_parent'

    $myrows = $wpdb->get_results( "SELECT * FROM $wpdb->postmeta JOIN $wpdb->posts ON $wpdb->postmeta.post_id=$wpdb->posts.id WHERE meta_value = '".$menu_item_id."' AND meta_key='_menu_item_menu_item_parent' ORDER BY $wpdb->posts.menu_order ASC" );

    foreach ( $myrows as $menu_item ) {

        $sc = get_object_vars($menu_item);  

        $myrowsb = $wpdb->get_results( "SELECT * FROM $wpdb->postmeta WHERE post_id = '".$sc['post_id']."' AND meta_key='_menu_item_object_id' " );

        foreach ( $myrowsb as $menu_itemb ) {

            $scb = get_object_vars($menu_itemb);    
            $pmIDs[] = $scb['meta_value'];

        }

    }

    return $pmIDs;
}

Я не совсем уверен, что правильно понял.

Текст "Museums We Support" (Музеи, которые мы поддерживаем) генерируется из заголовка записи, заголовка страницы, заголовка категории и т.д. (или, если вы используете пользовательское меню навигации, это может быть пользовательский заголовок).

Что вы пытаетесь сделать с этим текстом? Где вы хотите его отобразить? Я предполагаю, что вы пытаетесь отобразить его на странице архива категории (поскольку вы указываете, что это current-menu-item)? Если так, просто используйте <?php single_cat_title(); ?> для вывода заголовка категории.

Если вам нужна дополнительная информация о категории, вы можете использовать что-то вроде:

$cat = get_the_category();
$currentcat = $cat[0];

Что сделает доступными следующие переменные:

$currentcat=>cat_ID // ID категории
$currentcat=>cat_name // Название категории (то же, что и заголовок)
$currentcat=>category_nicename // Слаг категории
$currentcat=>category_description // Описание категории
$currentcat=>category_count // Количество записей в категории

Если вы находитесь не на странице архива категории, вам нужно будет передать $catid в эти функции.

РЕДАКТИРОВАНИЕ:

Поскольку вы указали, что "Museums We Support" — это пользовательский заголовок меню, самый простой подход — это переименовать категорию с "Museums" (Музеи) на "Museums We Support" (Музеи, которые мы поддерживаем) (примечание: вы можете оставить слаг museums без изменений). Однако это означает, что "Museums We Support" будет отображаться как заголовок категории везде, где он выводится в вашем шаблоне. Если это приемлемо, то проблем нет.

В противном случае вам придётся использовать что-то вроде wp_get_nav_menu_items() (Ссылка на Codex), чтобы получить заголовок для конкретного пункта меню.