Determinar si un elemento de navegación tiene hijos en WordPress

Estoy intentando determinar si un elemento tiene un sub-elemento con profundidad 1 o superior. No encuentro en ninguna parte si existe alguna función/consulta que pueda escribir que tome el elemento actual, busque en la base de datos si tiene subpáginas y devuelva true.

Lo que pretendo hacer con esto es darle al <li> una clase diferente dependiendo de si el elemento del menú tiene un sub-elemento.

El fragmento del código de lo que tengo hasta ahora:

if ($depth == 0) 
{
    if( /*la página tiene subpáginas*/ )
    {
            $class_names = $class_names ? ' class="menu-enable"' : '';
    }
    else
    {
            $class_names = $class_names ? '' : '';
    }
}
else
{
    $class_names = $class_names ? ' class="sub-menu-enable"' : '';
}

Ahora necesito algún código que se ejecute en la página tiene subpáginas. ¿Cómo puedo detectar elementos padre?

Edición:

Clase personalizada completa del walker ahora:

 class header_walker extends Walker_Nav_Menu
{
 /**
 * @see Walker::start_lvl()
 * @since 3.0.0
 *
 * @param string $output Pasado por referencia. Usado para añadir contenido adicional.
 * @param int $depth Profundidad de la página. Usado para relleno.
 */
function start_lvl( &$output, $depth = 0, $args = array() ) {
    $indent = str_repeat("\t", $depth);
    $output .= "\n</li>$indent<div class=\"menu-items\"><div class=\"submenu-item\"><ul>\n";
}

/**
 * @see Walker::end_lvl()
 * @since 3.0.0
 *
 * @param string $output Pasado por referencia. Usado para añadir contenido adicional.
 * @param int $depth Profundidad de la página. Usado para relleno.
 */
function end_lvl( &$output, $depth = 0, $args = array() ) {
    $indent = str_repeat("\t", $depth);
    $output .= "$indent</ul></div></div>\n";
}

/**
 * @see Walker::start_el()
 * @since 3.0.0
 *
 * @param string $output Pasado por referencia. Usado para añadir contenido adicional.
 * @param object $item Objeto de datos del elemento del menú.
 * @param int $depth Profundidad del elemento del menú. Usado para relleno.
 * @param int $current_page ID del elemento del menú.
 * @param object $args
 */
function start_el( &$output, $item, $depth = 0, $args = array(), $id = 0 ) {

    $indent = ( $depth ) ? str_repeat( "\t", $depth ) : '';

    $class_names = $value = '';
    $classes = empty( $item->classes ) ? array() : (array) $item->classes;
    $classes[] = 'menu-item-' . $item->ID;

    $class_names = join( ' ', apply_filters( 'nav_menu_css_class', array_filter( $classes ), $item, $args ) );
    $class_names = $class_names ? ' class="' . esc_attr( $class_names ) . '"' : '';
            /*
    // valores de profundidad
    echo $item->title.' - ';
    echo $depth.'<br />';
    echo $class_names;

    if ($depth == 0) 
    {
        if( verificar si tiene subpáginas )
        {
            $class_names = $class_names ? ' class="menu-enable"' : '';
        }
        else
        {
            $class_names = $class_names ? '' : '';
        }
    }
    else
    {
        $class_names = $class_names ? ' class="sub-menu-enable"' : '';
    }*/

    $output .= $indent . '<li' . $class_names .'>';

    $attributes  = ! empty( $item->attr_title ) ? ' title="'  . esc_attr( $item->attr_title ) .'"' : '';
    $attributes .= ! empty( $item->target )     ? ' target="' . esc_attr( $item->target     ) .'"' : '';
    $attributes .= ! empty( $item->xfn )        ? ' rel="'    . esc_attr( $item->xfn        ) .'"' : '';
    $attributes .= ! empty( $item->url )        ? ' href="'   . esc_attr( $item->url        ) .'"' : '';

    $item_output = $args->before;
    $item_output .= '<a'. $attributes .'>';
    $item_output .= $args->link_before . apply_filters( 'the_title', $item->title, $item->ID ) . $args->link_after;
    $item_output .= '</a>';
    $item_output .= $args->after;

    $output .= apply_filters( 'walker_nav_menu_start_el', $item_output, $item, $depth, $args );
}
/**
 * @see Walker::end_el()
 * @since 3.0.0
 *
 * @param string $output Pasado por referencia. Usado para añadir contenido adicional.
 * @param object $item Objeto de datos de la página. No usado.
 * @param int $depth Profundidad de la página. No usado.
 */
function end_el( &$output, $item, $depth = 0, $args = array() ) {
    $output .= "</li>\n";
}

}