Eliminar el campo "Sitio Web" de la información de contacto

Resolví el problema con las funciones ob_ y DOMDocument. Es mejor que jQuery o CSS para proteger el formulario.

Utilizo este tipo de solución cada vez que no puedo acceder a una parte del contenido HTML mediante un hook.

function remove_extra_field_profile()
{

    $current_file_url =  preg_replace( "#\?.*#" , "" , basename( $_SERVER['REQUEST_URI'] ) );

    if( $current_file_url == "profile.php" )
    {
        add_action( 'wp_loaded', function(){ ob_start("profile_callback"); } );
        add_action( 'shutdown', function(){ ob_end_flush(); } );
    }
}
add_action( 'init', 'remove_extra_field_profile' );


function profile_callback( $html )
{
    $profile_dom = new DOMDocument;
    $profile_dom->loadHTML( $html );

    $all_lines = $profile_dom->getElementsByTagname( 'tr' );

    $excludes = array(
        'user-rich-editing-wrap',
        'user-admin-color-wrap',
        'user-comment-shortcuts-wrap',
        'show-admin-bar user-admin-bar-front-wrap',
        'user-url-wrap',
        'user-description-wrap'
        );

    $deletes = array();

    foreach ( $all_lines as $line ) 
    {
        $tr_calss = $line->getAttribute("class");

        if( in_array( $tr_calss, $excludes ) )
        {
            $deletes[] = $line;
        }
    }

    $deletes[] = $profile_dom->getElementsByTagname( 'h2' )->item(0);

    foreach ($deletes as $delete) 
    {
        $delete->parentNode->removeChild( $delete );
    }

    return $profile_dom->saveHTML();
}

Ampliando la respuesta de @birgire y justificando la de @Patricia Walton, si solo agregas

add_action('admin_head-user-edit.php','remove_website_row_wpse_94963');

solo desaparecerá de la página donde el administrador edita un perfil. Para que también desaparezca cuando un usuario edita su propio perfil, agrega además

add_action('admin_head-profile.php','remove_website_row_wpse_94963');, así:

function remove_website_row_wpse_94963() {
    if(!current_user_can('manage_options')){
        // ocultar solo para no administradores
        echo "<script>jQuery(document).ready(function(){jQuery('#url').parents('tr').remove();});</script>";
    }
}
add_action('admin_head-user-edit.php','remove_website_row_wpse_94963');
add_action('admin_head-profile.php','remove_website_row_wpse_94963');

El código tampoco me funcionaba, pero cambiando el add_action para que apunte a profile.php sí funcionó.

function remove_website_row_wpse_94963() {
    if(!current_user_can('manage_options')){
        // ocultar solo para no administradores
        echo "<script>jQuery(document).ready(function()    
            {jQuery('#url').parents('tr').remove();});</script>";
    }
}

add_action('admin_head-user-edit.php','remove_website_row_wpse_94963');

Ampliando la respuesta de @birgire, escribí esto en un arreglo para que sea un poco más fácil de leer:

function awb_remove_user_profile_fields_with_css() {
// Ocultar campos no deseados en el perfil de usuario
$fieldsToHide = [
    'rich-editing',          // Edición enriquecida
    'admin-color',           // Color del administrador
    'comment-shortcuts',     // Atajos para comentarios
    'admin-bar-front',       // Barra de administración en el front-end
    'user-login',            // Nombre de usuario
    'role',                  // Rol
    'super-admin',           // Super administrador
    //'first-name',          // Nombre (comentado)
    //'last-name',           // Apellido (comentado)
    'nickname',              // Apodo
    'display-name',          // Nombre público
    //'email',              // Email (comentado)
    'description',           // Biografía
    //'pass1',              // Contraseña 1 (comentado)
    //'pass2',              // Contraseña 2 (comentado)
    'sessions',             // Sesiones
    'capabilities',         // Capacidades
    'syntax-highlighting',  // Resaltado de sintaxis
    'url'                   // Sitio web
    ];

    // Añadir el CSS
    foreach ($fieldsToHide as $fieldToHide) {
        echo '<style>tr.user-'.$fieldToHide.'-wrap{ display: none; }</style>';
    }

    // Campos que no siguen la convención de nombres del wrapper
    echo '<style>tr.user-profile-picture{ display: none; }</style>';

    // Todos los subtítulos
    echo '<style>#your-profile h2{ display: none; }</style>';
}
add_action( 'admin_head-user-edit.php', 'awb_remove_user_profile_fields_with_css' );
add_action( 'admin_head-profile.php',   'awb_remove_user_profile_fields_with_css' );