Mostrar imagen para una categoría usando get_categories o mostrar una imagen de cualquier entrada hija

En lugar de usar get_categories(), te sugiero que eches un vistazo a wp_list_categories(). Puedes obtener el mismo resultado con esta función, pero tiene la ventaja de ser altamente personalizable.

Hay dos formas de personalización, ya sea mediante el hook de filtro wp_list_categories - ver en código fuente - o extendiendo la clase Walker_Category - ver en código fuente. La última opción te da muchas más posibilidades de personalización, pero puede ser excesiva para cambios menores. Así que debes evaluar qué se adapta mejor a tus necesidades.

Como este tema está bastante bien cubierto en WPSE y SO, solo te daré una breve lista de referencias. Además, no has dado una descripción lo suficientemente específica de tus necesidades, por lo que sigue siendo un poco vago, aunque se puede intuir lo que quieres. De todos modos, los recursos a continuación deberían ayudarte a elegir el método adecuado y permitirte lograrlo.

1. Hook de filtro wp_list_categories
   • Cómo obtener current_cat en la barra de navegación, en una entrada individual
   • Añadir iconos de Font-Awesome al widget de categorías programáticamente
   • WordPress - Personalización avanzada de la función wp_list_categories
2. Clase Walker_Category
   • wp_list_categories: obtener la última featured_image de la categoría
   • ¿Cómo puedo hacer que wp_list_categories muestre li con el slug de la categoría como clase, para sus hijos?
   • ¿Cómo mostrar una lista de categorías al estilo mediawiki?

Un comentario más, personalmente casi siempre optaría por extender la clase Walker_Category, excepto para casos donde el cambio que deseas es muy menor. Esto es, por supuesto, un poco de preferencia personal, pero tiene fundamento, particularmente por la reutilización, extensibilidad y - aunque no lo parezca - a menudo, incluso la mayoría de las veces, es la forma más fácil de lograr la salida personalizada.

Miniatura de entrada en categoría hija:

De esta manera puedes recuperar tu "miniatura de categoría" de una entrada aleatoria que pertenezca a una de las categorías hijas.

He comentado el código para que entiendas cómo se hace, además de que debería ser bastante autoexplicativo.

/**
 * wpse135208_cat_thumb_from_random_child.
 *
 * Obtiene la miniatura de una entrada aleatoria perteneciente a una de las categorías hijas.
 *
 * @version 0.1
 *
 * @link https://wordpress.stackexchange.com/q/135208/22534
 *
 * @param integer $c_cat (default: '')
 * @param string/array $size (default: 'post-thumbnail')
 * @param string/array $attr (default: null)
 *
 * @return string
 */
function wpse135208_cat_thumb_from_random_child( $c_cat = '', $size = 'post-thumbnail', $attr = null ) {
    // no hacer nada si $c_cat está vacío
    if( empty($c_cat) ) return;
    // se usa get_terms porque solo necesitamos ids
    $taxonomies = array(
        'category'
        );
    $args = array(
        'child_of' => $c_cat,
        'fields' => 'ids'
        );
    // retorna un array de ids
    $child_cats = get_terms( $taxonomies, $args );
    // usar esto para depuración
    //echo '<pre>'; print_r($child_cats); echo '</pre>';

    $args = array(
        // usamos numberposts en lugar de post_per_page,
        // porque si se usa el filtro pre_get_posts,
        // puede hacer una diferencia en este caso
        // solo queremos una entrada
        'numberposts' => 1,
        // pero la aleatorizamos
        'orderby' => 'rand',
        'category__in' => $child_cats,
        'fields' => 'ids',
        // asegurarse de solo considerar entradas con imagen destacada
        'meta_query' => array(
            array(
                'key' => '_thumbnail_id',
                'compare' => 'EXISTS'
            )
        )
        );
    // retorna un array conteniendo un id de entrada
    $ct_p_id = get_posts( $args );
    // usar esto para depuración
    //echo '<pre>'; print_r($ct_p_id); echo '</pre>';

    // usar esto para depuración
    //echo '<pre>'; print_r( ( 1 /*cambiar a 0 para mostrar info de src*/ ) ? get_the_post_thumbnail( $ct_p_id[0], $size, $attr ) : wp_get_attachment_image_src( get_post_thumbnail_id( $ct_p_id[0] ) ) ); echo '</pre>';
    // ahora podemos usar esto para retornar nuestra miniatura
    return get_the_post_thumbnail( $ct_p_id[0], $size, $attr );
}

Uso así:

echo wpse135208_cat_thumb_from_random_child( '1', 'thumbnail', null );

En tu código úsalo como se muestra a continuación:

$categories = get_categories($args);
foreach($categories as $category) {
    echo wpse135208_cat_thumb_from_random_child($category->cat_ID);
}

Miniatura de categoría vía plugin:

Esto tiene el beneficio de tener miniaturas reales para categorías.

Le he dado una prueba rápida al plugin - Category Thumbnails - que mencioné en el comentario anterior. Funciona generalmente y siento que es una mejor solución que lo que propones en tu respuesta, porque te permite gestionar las miniaturas a través de la biblioteca multimedia de WordPress.

Descubrí un pequeño error, el autor del plugin ha sido notificado y respondió al instante, por lo que el error se corregirá pronto. Si no puedes esperar puedes corregirlo tú mismo así:

Sin embargo la función

the_category_thumbnail();

no produce una salida. En el código fuente de la versión 1.0.3 se ve así:

function the_category_thumbnail($category_id = null, $sizes = array()) {
    print get_the_category_thumbnail($cat, $sizes);
}

Solucioné el problema así:

function the_category_thumbnail($category_id = null, $sizes = array()) {
    print get_the_category_thumbnail($category_id, $sizes);
}

Es decir, igualando el nombre del parámetro/argumento.

O simplemente puedes usar get_the_category_thumbnail() en su lugar, solo tienes que hacer echo:

echo get_the_category_thumbnail('1');

Otra pequeña decepción es que el plugin y las funciones que ofrece no te dan la posibilidad de trabajar con los tamaños de imagen generados. Lo cual no es tan bueno, porque queremos el tamaño correcto y no siempre el tamaño completo. Voy a notificar al autor sobre esto también, para que pueda mejorar su plugin. Mientras tanto, esto puede solucionarse fácilmente construyendo una función personalizada:

/**
 * wpse135208_cat_thumb_wrapper.
 *
 * Función envoltorio para tener la capacidad de usar tamaños de imagen predefinidos via wp_get_attachment_image().
 *
 * @version 0.1
 *
 * @link https://wordpress.stackexchange.com/q/135208/22534
 *
 * @param integer $category_id (default: null)
 * @param string/array $size (default: 'thumbnail')
 * @param boolean $icon (default: false)
 * @param string/array (default: null)
 *
 * @return string
 */
function wpse135208_cat_thumb_wrapper( $category_id = null, $size = 'thumbnail', $icon = false, $attr = null ) {
    $category_thumbnail_obj = get_the_category_data( $category_id );
    return wp_get_attachment_image( $category_thumbnail_obj->id, $size, $icon, $attr );
}

Uso así:

echo wpse135208_cat_thumb_wrapper( '1', 'thumbnail', false, null );

Esto debería ayudarte a que funcione. Como dije, es preferible porque puedes gestionar tu miniatura de categoría a través de la biblioteca multimedia. En tu código úsalo como se muestra a continuación:

$categories = get_categories($args);
foreach($categories as $category) {
    echo wpse135208_cat_thumb_wrapper($category->cat_ID);
}

Bueno, logré hacer lo que creo que quieres hacer usando Advanced Custom Fields, creando un nuevo conjunto de campos personalizados con un campo personalizado de tipo imagen. Desde allí, establece las reglas de ubicación como "Taxonomy Term" > "is equal to" > "Categories" (o cualquier taxonomía para la que estés usando esto).

Una vez que publiques esto, debería actualizar la sección donde editas las taxonomías con un nuevo campo para una imagen. Ahora, todo se reduce a usar la función de ACF "get_field()" dentro de tu bucle foreach de categorías. Aquí está cómo obtener el campo desde la categoría.

Ejemplo:

<?php foreach ( $categories as $category ) {
    echo get_field('field_name_for_image', $category->taxonomy . "_" . $category->term_id);
} ?>

Si usaste la configuración predeterminada de ACF, deberías obtener un array, que es el objeto de la imagen. Para eso, revisa la documentación sobre Image Field Types de ACF.

Me tomó menos de 5 minutos configurar esto, y el plugin es gratuito. ¡Espero que sea rápido y fácil para ti!

¡Mucha suerte!

WordPress tiene el código - http://codex.wordpress.org/Function_Reference/get_the_category

     Mostrar Imágenes de Categorías
Este código muestra imágenes de categorías nombradas según el cat_ID con el atributo alt establecido como cat_name. También puedes usar cualquiera de las otras variables miembro.

<?php 
foreach((get_the_category()) as $category) { 
    echo '<img src="http://example.com/images/' . $category->cat_ID . '.jpg" alt="' . $category->cat_name . '" />'; 
} 
?>

Esto permite configurar imágenes dentro de las funciones get_categories. Las imágenes deben configurarse para que coincidan con la función. Por lo tanto, si se usa $category->name, la imagen debe guardarse en la carpeta correcta con el nombre que coincida con la categoría.