Добавить поле в форму регистрации WordPress

Я не знаю, какой именно плагин вы используете, но способ добавления пользовательских полей в форму регистрации и сохранения их в профиле пользователя заключается в использовании хука register_form для вывода поля, а затем соответствующего фильтра/действия для обновления/сохранения профиля пользователя.

В вашем случае, например:

<?php
// вывод поля формы
add_action('register_form', 'ad_register_fields');
function ad_register_fields() {
?>
    <p>
        <label for="firstname"><?php _e('Имя') ?><br />
        <input type="firstname" name="firstname" id="firstname" class="input" value="<?php echo esc_attr($_POST['firstname']); ?>" size="25" tabindex="20" />
        </label>
    </p>
<?php
}

// сохранение нового имени
add_filter('pre_user_first_name', 'ad_user_firstname');
function ad_user_firstname($firstname) {
    if (isset($_POST['firstname'])) {
        $firstname = $_POST['firstname'];
    }
    return $firstname;
}
?>