Фатальная ошибка при попытке получить email администратора в контактной форме

Просто наличие файла в папке темы не означает, что WordPress загрузит этот файл или что при обращении к нему он будет загружен в контексте WordPress.

Есть два подхода, которые я могу предложить:

Для использования функций WordPress необходимо, чтобы WordPress был загружен. Самый простой способ сделать это - позволить WordPress загрузить файл. Разместите ваш код выше в том же шаблоне, где находится ваша форма - предположительно, он доступен, и WordPress знает о странице. Просто отправляйте форму на ту же страницу, а не на другую. При отсутствии веских причин делать иначе, я бы поступил именно так.

Вы также можете использовать AJAX API для обработки вашей формы.

Примечание: Существует своего рода хак для загрузки WordPress во внешних файлах путем включения wp-load.php, но не используйте этот метод, если вы не уверены в своих действиях.

Обновление:

На основании дополнительной информации я считаю, что лучшее решение - создать правильный виджет для формы.

class Form_Widget_wpse_104728 extends WP_Widget {
  function __construct() {
    $opts = array(
      'description' => 'Отображает и обрабатывает мою форму'
    );
    parent::WP_Widget(
      'my-form-content',
      'Некоторый PHP',
      $opts
    );
  }
  function widget($args,$instance) {
    // PHP-код здесь
    // Ваш код для обработки формы
    // Сама форма
  }
}
function register_my_widgets() {
  register_widget('Form_Widget_wpse_104728');
}
add_action('widgets_init','register_my_widgets');

Еще лучше было бы поместить весь код в плагин, чтобы можно было обрабатывать форму независимо через хук в начале загрузки страницы.