Как выполнить серверный скрипт при отправке Contact Form 7?

Вам понадобится хук wpcf7_before_send_mail, который срабатывает после успешной отправки письма. Просто добавьте этот код в ваш файл functions.php.

add_action( 'wpcf7_before_send_mail', 'process_contact_form_data' );
function process_contact_form_data( $contact_data ){

    var_dump($contact_data->posted_data);
            $name = $contact_data->posted_data["your-name"];
    $email = $contact_data->posted_data["your-email"];

    echo $name ;
    echo $email;                
}

Вы можете получить доступ к полям формы по их имени в массиве $contact_data->posted_data.

Да. Вы можете перенаправить на другую страницу либо с помощью JavaScript, либо из упомянутой выше функции. С JavaScript вам нужно добавить следующую строку в Дополнительные настройки созданной контактной формы.

on_sent_ok: "location = 'http://вашдомен.com/thankyou.php';"

Но этот способ не позволит вам использовать значения, отправленные из формы. Поэтому лучше использовать альтернативный метод.

Перенаправьте на страницу thankyou из упомянутой выше функции. Но перед перенаправлением сохраните информацию, которую хотите показать на странице thankyou, в переменные SESSION (например, имя, email, тему из формы). Затем на странице thankyou получите эти значения и отобразите их. Позже вы можете уничтожить переменные сессии и проверять каждый раз, установлены ли определенные переменные. Это даст контроль над прямым доступом к URL thankyou из браузера и покажет соответствующее сообщение о том, что страница недоступна напрямую.