¿Cómo ejecutar un script del lado del servidor cuando se envía Contact Form 7?

Necesitas el hook wpcf7_before_send_mail que se activa después de enviar el correo electrónico exitosamente. Simplemente agrega esto en tu archivo functions.php.

add_action( 'wpcf7_before_send_mail', 'process_contact_form_data' );
function process_contact_form_data( $contact_data ){

    var_dump($contact_data->posted_data);
            $name = $contact_data->posted_data["your-name"];
    $email = $contact_data->posted_data["your-email"];

    echo $name ;
    echo $email;                
}

Puedes acceder a los campos por su nombre en el array $contact_data->posted_data.

Sí. Puedes redirigir a otra página ya sea con JavaScript o desde la función anterior. Con JavaScript necesitas agregar la siguiente línea en la sección de Configuraciones Adicionales del formulario de contacto que has creado.

on_sent_ok: "location = 'http://tudominio.com/gracias.php';"

Pero esto no te permitirá usar los valores enviados desde el formulario. Así que usa el método alternativo.

Redirige a la página de gracias desde la función mencionada anteriormente. Pero antes de redirigir, guarda la información que quieres mostrar en la página de gracias en variables de SESIÓN (como nombre, correo, asunto del formulario). Luego en la página de gracias, obtén esos valores y muéstralos. Después puedes destruir las variables de sesión y verificar cada vez si esas variables están definidas. Esto te dará control sobre acceder directamente a la URL de gracias desde el navegador y mostrar un mensaje apropiado diciendo que la página no es accesible directamente.