Отображение категорий и подкатегорий с названием и описанием в category.php

Насколько я понимаю, у вас есть список родительских категорий и подкатегорий, которые выглядят как меню. Для вашего первого скриншота:

Кат1 -Подкат1 -Подкат2 -Подкат3

Кат2 -Подкат1 -Подкат2 -Подкат3

Предполагая, что у вас только два уровня категорий, вы можете использовать этот код для их отображения. Обратите внимание, что его можно использовать вне цикла:

<ul class="category-sidebar">   
    <?php 
        $get_parent_cats = array(
            'parent' => '0' //получаем только категории верхнего уровня
        ); 

        $all_categories = get_categories( $get_parent_cats ); //получаем родительские категории

        foreach( $all_categories as $single_category ){
            //для каждой категории получаем ID
            $catID = $single_category->cat_ID;

            echo '<li><a href=" ' . get_category_link( $catID ) . ' ">' . $single_category->name . '</a>'; //название и ссылка категории
            $get_children_cats = array(
                'child_of' => $catID //получаем дочерние категории, используя переменную catID
            );

            $child_cats = get_categories( $get_children_cats ); //получаем дочерние категории
            echo '<ul class="children">';
                foreach( $child_cats as $child_cat ){
                    //для каждой дочерней категории получаем ID
                    $childID = $child_cat->cat_ID;

                    //для каждой дочерней категории выводим ссылку и название
                    echo '<a href=" ' . get_category_link( $childID ) . ' ">' . $child_cat->name . '</a>';

                }
            echo '</ul></li>';
        } //конец логики работы с категориями ?>
</ul><!--конец category-sidebar-->

Теперь для вашего второго скриншота, я предполагаю, что при клике на родительскую категорию из меню выше будет отображаться страница с каждой подкатегорией и её описанием.

Обратитесь к руководству, которое я оставил в комментариях, по использованию условных операторов в category.php. В архиве вы будете проверять, загружается ли родительская категория или подкатегория. Если это подкатегория, показываем цикл записей, если родительская — страницу с подкатегориями и их описаниями. Вот как будет выглядеть код для подкатегорий и их описаний в цикле:

       <?php 
        //для текущей категории на странице архива получаем ID
        $thisID = get_query_var('cat');

        $get_children_cats = array(
            'child_of' => $thisID //получаем дочерние категории, используя переменную thisID
        );

        $child_cats = get_categories( $get_children_cats ); //получаем дочерние категории

        foreach( $child_cats as $child_cat ){
            //для каждой дочерней категории получаем ID
            $childID = $child_cat->cat_ID;

            //для каждой дочерней категории выводим ссылку, название и описание
            echo '<div class="child-wrap"><h2><a href=" ' . get_category_link( $childID ) . ' ">' . $child_cat->name . '</a></h2><br/>';
            echo '<p>' . $child_cat->category_description . '</p></div>';
        } //конец логики работы с категориями ?>

Я понимаю, что кода довольно много, но похоже, вам нужно выполнить несколько задач. Единственное, что вам нужно доработать самостоятельно — это настройка архива для отображения списка записей или страницы, как на втором скриншоте. Надеюсь, это поможет лучше, чем ресурсы в комментариях, которые я предоставил ранее. Удачи!