Mostrare categorie e sottocategorie con nome e descrizione in category.php

Da quello che ho capito, c'è una lista di categorie genitore e le sottocategorie, che funzionano come un menu. Per il tuo primo screenshot:

Cat1 -Subcat1 -Subcat2 -Subcat3

Cat2 -Subcat1 -Subcat2 -Subcat3

Assumendo che hai solo due livelli di categorie, useresti questo codice per mostrare le tue categorie. Nota che puoi usarlo al di fuori del loop:

<ul class="category-sidebar">   
    <?php 
        $get_parent_cats = array(
            'parent' => '0' //ottieni solo le categorie di livello superiore
        ); 

        $all_categories = get_categories( $get_parent_cats ); //ottieni le categorie genitore

        foreach( $all_categories as $single_category ){
            //per ogni categoria, ottieni l'ID
            $catID = $single_category->cat_ID;

            echo '<li><a href=" ' . get_category_link( $catID ) . ' ">' . $single_category->name . '</a>'; //nome e link della categoria
            $get_children_cats = array(
                'child_of' => $catID //ottieni le sottocategorie di questo genitore usando la variabile catID
            );

            $child_cats = get_categories( $get_children_cats ); //ottieni le sottocategorie della categoria genitore
            echo '<ul class="children">';
                foreach( $child_cats as $child_cat ){
                    //per ogni sottocategoria, ottieni l'ID
                    $childID = $child_cat->cat_ID;

                    //per ogni sottocategoria, mostra il link e il nome
                    echo '<a href=" ' . get_category_link( $childID ) . ' ">' . $child_cat->name . '</a>';

                }
            echo '</ul></li>';
        } //fine della logica delle categorie ?>
</ul><!--fine di category-sidebar-->

Ora per il tuo secondo screenshot, presumo che quando clicchi su una categoria genitore dal menu sopra, mostrerà una pagina come quella con ogni sottocategoria e la sua descrizione.

Fai riferimento al tutorial che ho lasciato nei commenti per usare i condizionali in category.php, fondamentalmente quello che farai nell'archive è verificare se sta caricando una categoria genitore o una sottocategoria. Se è una sottocategoria, mostra un loop di post, se è un genitore, mostra la pagina delle sottocategorie con le descrizioni. Ecco come apparirebbe il codice per le sottocategorie e le loro descrizioni nel loop:

       <?php 
        //per questa categoria in una pagina archive, ottieni l'ID
        $thisID = get_query_var('cat');

        $get_children_cats = array(
            'child_of' => $thisID //ottieni le sottocategorie di questo genitore usando la variabile thisID
        );

        $child_cats = get_categories( $get_children_cats ); //ottieni le sottocategorie di questa categoria genitore

        foreach( $child_cats as $child_cat ){
            //per ogni sottocategoria, ottieni l'ID
            $childID = $child_cat->cat_ID;

            //per ogni sottocategoria, mostra il link, il nome e la descrizione
            echo '<div class="child-wrap"><h2><a href=" ' . get_category_link( $childID ) . ' ">' . $child_cat->name . '</a></h2><br/>';
            echo '<p>' . $child_cat->category_description . '</p></div>';
        } //fine della logica delle categorie ?>

Mi rendo conto che è molto codice ma sembra che tu stia chiedendo di fare più cose, l'unico compito che devi fare tu è far sì che l'archive mostri la lista di post o la pagina nel secondo screenshot. Spero che questo ti aiuti meglio delle risorse nei commenti che ho fornito prima. Buona fortuna!