Mostrar categorías o subcategorías con nombre y descripción en category.php

Por lo que entiendo, hay una lista de categorías principales y las subcategorías, que actúan como un menú. Para tu primera captura de pantalla:

Cat1 -Subcat1 -Subcat2 -Subcat3

Cat2 -Subcat1 -Subcat2 -Subcat3

Asumiendo que solo tienes dos niveles de categorías, usarías esto para mostrar tus categorías. Nota que puedes usar esto fuera del loop:

<ul class="category-sidebar">   
    <?php 
        $get_parent_cats = array(
            'parent' => '0' //obtener solo categorías de nivel superior
        ); 

        $all_categories = get_categories( $get_parent_cats );//obtener categorías principales 

        foreach( $all_categories as $single_category ){
            //para cada categoría, obtener el ID
            $catID = $single_category->cat_ID;

            echo '<li><a href=" ' . get_category_link( $catID ) . ' ">' . $single_category->name . '</a>'; //nombre y enlace de la categoría
            $get_children_cats = array(
                'child_of' => $catID //obtener hijos de este padre usando la variable catID de antes
            );

            $child_cats = get_categories( $get_children_cats );//obtener hijos de la categoría padre
            echo '<ul class="children">';
                foreach( $child_cats as $child_cat ){
                    //para cada categoría hija, obtener el ID
                    $childID = $child_cat->cat_ID;

                    //para cada categoría hija, darnos el enlace y nombre
                    echo '<a href=" ' . get_category_link( $childID ) . ' ">' . $child_cat->name . '</a>';

                }
            echo '</ul></li>';
        } //fin de la lógica de categorías ?>
</ul><!--fin de category-sidebar-->

Ahora para tu segunda captura de pantalla, asumo que al hacer clic en una categoría principal del menú anterior, mostrará una página como esa con cada subcategoría y su descripción.

Consulta el tutorial que dejé en los comentarios para usar condicionales en category.php, básicamente lo que harás en el archivo es verificar si se está cargando una categoría padre o una subcategoría. Si es una subcategoría, muestra un loop de publicaciones; si es una categoría principal, muestra la página de subcategorías con descripciones. Así se vería el código para las subcategorías y sus descripciones dentro del loop:

       <?php 
        //para esta categoría en una página de archivo, obtener el ID
        $thisID = get_query_var('cat');

        $get_children_cats = array(
            'child_of' => $thisID //obtener hijos de este padre usando la variable thisID de antes
        );

        $child_cats = get_categories( $get_children_cats );//obtener hijos de esta categoría padre

        foreach( $child_cats as $child_cat ){
            //para cada categoría hija, obtener el ID
            $childID = $child_cat->cat_ID;

            //para cada categoría hija, darnos el enlace, nombre y descripción
            echo '<div class="child-wrap"><h2><a href=" ' . get_category_link( $childID ) . ' ">' . $child_cat->name . '</a></h2><br/>';
            echo '<p>' . $child_cat->category_description . '</p></div>';
        } //fin de la lógica de categorías ?>

Me doy cuenta de que esto es mucho código, pero parece que estás pidiendo hacer múltiples cosas, la única tarea en la que tienes que trabajar tú mismo es hacer que el archivo muestre la lista de publicaciones o tu página en la segunda captura de pantalla. Espero que esto ayude más que los recursos en los comentarios que proporcioné antes. ¡Buena suerte!