Показать пользователю его пароль

Теоретически, это можно реализовать, сохраняя пароль пользователя в другом месте при его обновлении.

Обратите внимание, что такой подход крайне редко рекомендуется.
В подавляющем большинстве случаев существует более правильное архитектурное решение, которое делает ненужным возможность отображения паролей в открытом виде.

Тем не менее, если вам абсолютно необходимо это сделать, вот как это можно реализовать:

function wpse_97127_save_passes( $errors, $update, $user )
{
    if (
        empty( $errors->errors ) &&
        ! empty ( $_POST['pass1'] )
    ) {
        /* если вам необходимо сохранить пароль в обратимой форме, по крайней мере не сохраняйте его в открытом виде */
        $pass = base64_encode(
            mcrypt_encrypt(
                MCRYPT_RIJNDAEL_256,
                md5(AUTH_KEY),
                $_POST['pass1'],
                MCRYPT_MODE_CBC,
                md5(md5(AUTH_KEY))
            )
        );
        // сделайте что-нибудь с $pass, например, сохраните его где-нибудь
    }
}
add_action( 'user_profile_update_errors', 'wpse_97127_save_passes', 0, 3 );

Вышеуказанный код можно обратить следующим образом:

$pass_from_db = $wpdb->get_results( /* получить зашифрованный, но обратимый пароль из базы данных */ );
$pass = rtrim(
    mcrypt_decrypt(
        MCRYPT_RIJNDAEL_256,
        md5(AUTH_KEY),
        base64_decode($pass_from_db),
        MCRYPT_MODE_CBC,
        md5(md5(AUTH_KEY))
    ),
    "\0"
);

Пожалуйста, не делайте этого в рабочих средах с учетными записями пользователей без их согласия или ведома. Это не только плохая практика, но и неэтичный поступок.

Я использую вышеописанный подход только в одном конкретном случае для определенной роли пользователя, возможности которой ограничены, новые пользователи которой всегда настраиваются администратором или другой ролью более высокого уровня, и пароль которой изначально известен нескольким людям.
И даже в этом случае я не чувствую себя комфортно.