Простая форма с сохранением в базу данных

Насколько я понимаю, у вас уже есть таблица в базе данных.

Я не знаю, как вы её назвали, но лучшей практикой (для меня обязательной) является использование того же префикса таблицы, что и в WordPress, который задаётся в файле wp-config.php.

Вы также не указали структуру таблицы, но предположу, что она выглядит примерно так:

ID (integer,primary,autoincrement) | name (varchar) | phone (varchar) | email (varchar)

Вы можете добавить шорткод для вывода формы. В ваш functions.php добавьте:

add_action('init', function() {
  add_shortcode('userform', 'print_user_form');
});

function print_user_form() {
  echo '<form method="POST">';
  wp_nonce_field('user_info', 'user_info_nonce', true, true);
  ?>

  Все ваши поля формы (имя, email, телефон) должны быть здесь.

<?php
  submit_button('Отправить данные');
  echo '</form>';
}

Теперь просто создайте запись или страницу в админке WordPress и добавьте шорткод [userform]: форма волшебным образом появится на странице.

Как вы видите, я не добавил атрибут action к форме, таким образом данные формы отправляются на ту же страницу.

Теперь вам нужно сохранить данные. Добавьте действие на ранний хук, проверьте $_POST, убедитесь в правильности nonce и сохраните данные:

add_action('template_redirect', function() {
   if ( ( is_single() || is_page() ) &&
        isset($_POST[user_info_nonce]) &&
        wp_verify_nonce($_POST[user_info_nonce], 'user_info')
    ) {
      // Валидацию данных следует выполнить перед сохранением в БД.
      // Я не буду писать функцию валидации, это выходит за рамки данного ответа
      $pass_validation = validate_user_data($_POST);
      if ( $pass_validation ) {
        $data = array(
          'name' => $_POST['name'],
          'email' => $_POST['email'],
          'phone' => $_POST['phone'],
        );
        global $wpdb;
        // Если вы последовали моему совету и назвали таблицу с префиксом WordPress
        $table_name = $wpdb->prefix . 'my_custom_table';
        // Следующая строка вставит данные
        $wpdb->insert($table_name, $data, '%s'); 
        // Если вам нужно получить ID только что вставленной строки, используйте
        $rowid = $wpdb->insert_id;
        // После вставки данных следует перенаправить пользователя
        // Я рекомендую создать отдельную страницу с заголовком "Спасибо"
        // Если вы так сделаете:
        $redirect_page = get_page_by_title('Спасибо') ? : get_queried_object();
        // Предыдущая строка, если страница с заголовком 'Спасибо' не найдена, 
        // установит текущую страницу для перенаправления. Следующая строка получит URL страницы:
        $redirect_url = get_permalink( $redirect_page );
        // Теперь выполняем перенаправление
        wp_safe_redirect( $redirect_url );
        // И завершаем выполнение PHP
        exit();
      }
   }
});

Код достаточно грубый, но может служить отправной точкой. Встроенные комментарии помогут вам понять последовательность действий.

Обязательно ознакомьтесь с документацией:

• add_shorcode
• wp_nonce_field и wp_verify_nonce
• $wpdb class reference
• get_page_by_title
• wp_safe_redirect
• template_redirect hook
• init hook

Важно учитывать, что NAME является зарезервированным словом в WordPress. Если вы используете поле с названием name, при отправке формы вы получите ошибку 404 (страница не найдена).