Formulario simple que guarda en la base de datos

Por lo que puedo entender, ya tienes la tabla en tu base de datos.

No sé cómo la has nombrado, pero una buena práctica (para mí una práctica obligatoria) es nombrarla con el mismo prefijo de tabla de WordPress, el que está configurado en wp-config.php.

Tampoco mencionas cómo está estructurada esta tabla, pero supongo que es algo como:

ID (entero, primaria, autoincremento) | nombre (varchar) | teléfono (varchar) | email (varchar)

Puedes añadir un shortcode que muestre el formulario. En tu functions.php añade:

add_action('init', function() {
  add_shortcode('userform', 'print_user_form');
});

function print_user_form() {
  echo '<form method="POST">';
  wp_nonce_field('user_info', 'user_info_nonce', true, true);
  ?>

  Todos los campos de tu formulario (nombre, email, teléfono) van aquí.  

<?php
  submit_button('Enviar Datos');
  echo '</form>';
}

Ahora simplemente crea una entrada o página en el panel de WordPress y añade [userform]: el formulario aparecerá mágicamente en la página.

Como puedes ver, no he añadido el atributo action al formulario, de esta manera el formulario envía los datos POST a la misma página.

Ahora tienes que guardar los datos. Añade una acción en un hook temprano, busca el $_POST, verifica el nonce y guarda tus datos:

add_action('template_redirect', function() {
   if ( ( is_single() || is_page() ) &&
        isset($_POST[user_info_nonce]) &&
        wp_verify_nonce($_POST[user_info_nonce], 'user_info')
    ) {
      // Deberías hacer la validación antes de guardar los datos en la db.
      // No escribiré la función de validación, está fuera del alcance de esta respuesta
      $pass_validation = validate_user_data($_POST);
      if ( $pass_validation ) {
        $data = array(
          'name' => $_POST['name'],
          'email' => $_POST['email'],
          'phone' => $_POST['phone'],
        );
        global $wpdb;
        // si has seguido mi sugerencia de nombrar tu tabla usando el prefijo de WordPress
        $table_name = $wpdb->prefix . 'my_custom_table';
        // la siguiente línea insertará los datos
        $wpdb->insert($table_name, $data, '%s'); 
        // si quieres recuperar el valor ID de la fila recién insertada usa
        $rowid = $wpdb->insert_id;
        // después de insertar tenemos que redirigir al usuario
        // te sugiero crear otra página y titularla "Gracias"
        // si lo haces:
        $redirect_page = get_page_by_title('Gracias') ? : get_queried_object();
        // la línea anterior si la página titulada 'Gracias' no se encuentra, establece la página actual
        // como la página de redirección. La siguiente línea obtiene la url de la página de redirección:
        $redirect_url = get_permalink( $redirect_page );
        // ahora redirige
        wp_safe_redirect( $redirect_url );
        // y detén php
        exit();
      }
   }
});

El código es básico, pero debería ser un punto de partida válido. Los comentarios en línea deberían ayudarte a entender el flujo de trabajo.

Asegúrate de leer la documentación:

• add_shorcode
• wp_nonce_field y wp_verify_nonce
• $wpdb class reference
• get_page_by_title
• wp_safe_redirect
• template_redirect hook
• init hook

Una cosa a tener en cuenta, NAME es una palabra reservada de WordPress, si utilizas un campo llamado name, cuando envíes tu formulario, obtendrás un error 404 not found.