Удалить заголовок страницы со статической главной страницы

оберните вызов функции add_filter в условный тег и используйте встроенную функцию return false:

if ( is_page('138') ) // Проверяем, является ли текущая страница страницей с ID 138
{
      add_filter( 'the_title', '__return_false' ); // Отключаем вывод заголовка для этой страницы
}

Вы почти поняли!

Вот ваш исходный код:

add_filter( 'the_title', 'remove_page_title' );

function remove_page_title() {
   if(is_page('138')) {
   }
   return '';
}

Что он делает: добавляет фильтр на the_title, который не принимает никаких параметров. Это ваша первая ошибка. Фильтр the_title на самом деле принимает два параметра — заголовок страницы/записи и её ID. Итак, сначала перепишем наш хук:

add_filter( 'the_title', 'remove_page_title', 10, 2 );
function remove_page_title( $title, $id ) {

}

Это устанавливает наш фильтр с приоритетом 10 и позволяет нам принимать оба параметра, передаваемые фильтром. Затем мы указываем параметры, которые принимает наша функция.

Внутри функции мы хотим проверить, находимся ли мы на нужной странице. Если да, возвращаем '', если нет — возвращаем заголовок:

if( '138' == $id ) return '';

return $title;

Ваша исходная функция всегда возвращала '', когда срабатывал фильтр. Вот почему у вас был пустой заголовок на каждой странице, а не только на нужной.

Полный код

Итак, полный фильтр, переписанный для принятия параметров и использования правильной логики:

add_filter( 'the_title', 'remove_page_title', 10, 2 );

function remove_page_title( $title, $id ) {
    if( '138' == $id ) return '';

    return $title;
}

Вот способ удалить основной заголовок (не тег) с главной страницы в теме 2020, при этом не удаляя the_title из пунктов меню:

function no_title_front_page( $title, $id = null ) {
    // Если это главная страница и передан ID, возвращаем пустую строку
    if (is_front_page() && !is_null( $id )) {
        return '';
    }
    return $title;
}

add_filter( 'the_title', 'no_title_front_page', 10, 2 );

function wpse309151_remove_title_filter_nav_menu( $nav_menu, $args ) {
    // Работаем с меню, поэтому удаляем фильтр заголовка
    remove_filter( 'the_title', 'no_title_front_page', 10, 2 );
    return $nav_menu;
}

// Этот фильтр срабатывает перед созданием пунктов меню
add_filter( 'pre_wp_nav_menu', 'wpse309151_remove_title_filter_nav_menu', 10, 2 );

function wpse309151_add_title_filter_non_menu( $items, $args ) {
    // Завершили работу с меню, возвращаем фильтр заголовка
    add_filter( 'the_title', 'no_title_front_page', 10, 2 );
    return $items;
}

// Этот фильтр срабатывает после создания пунктов меню
add_filter( 'wp_nav_menu_items', 'wpse309151_add_title_filter_non_menu', 10, 2 );

Код основан на этом ответе.

Один из способов для header.php:

<?php if (is_page('138')) { echo'
<style type="text/css" title="text/css">
yourpagetitleselector {display:none;}
</style>'
; ?>

Если я правильно вас понял — вы не хотите отображать <title> на главной странице — вы можете использовать:

<title><?php if ( ! is_front_page() ) { the_title(); } ?></title>