Eliminar el título de la página en la página de inicio estática

envuelve tu llamada a la función add_filter en una etiqueta condicional y utiliza la función incorporada return false:

if ( is_page('138') )
{
      add_filter( 'the_title', '__return_false' );
}

¡Casi lo tienes!

Aquí está tu código original:

add_filter( 'the_title', 'remove_page_title' );

function remove_page_title() {
   if(is_page('138')) {
   }
   return '';
}

Lo que está haciendo es agregar un filtro en the_title que no acepta ningún parámetro. Ese es tu primer error. El filtro the_title en realidad toma dos parámetros: el título de la página/entrada y el ID de la página/entrada. Entonces, primero, reescribamos nuestro hook:

add_filter( 'the_title', 'remove_page_title', 10, 2 );
function remove_page_title( $title, $id ) {

}

Esto asigna nuestro filtro con una prioridad de 10 y nos permite aceptar ambos parámetros enviados por el filtro. Luego especificamos los parámetros que acepta nuestra función.

Dentro de la función, queremos verificar si estamos en la página correcta. Si es así, devolvemos '', si no, devolvemos el título:

if( '138' == $id ) return '';

return $title;

Tu función original siempre devolvía '' cuando se ejecutaba el filtro. Por eso obtenías un título en blanco en cada página, no solo en la página que querías.

Nuestro código completo

Así que tu filtro completo, reescrito para aceptar parámetros y usar la lógica correcta:

add_filter( 'the_title', 'remove_page_title', 10, 2 );

function remove_page_title( $title, $id ) {
    if( '138' == $id ) return '';

    return $title;
}

Esta es la forma de eliminar el título principal (no la etiqueta) de la página de inicio en el tema 2020 sin eliminar también the_title de los elementos del menú:

function no_title_front_page( $title, $id = null ) {
    // Si es la página de inicio y hay un ID
    if (is_front_page() && !is_null( $id )) {
        return ''; // Devolver vacío para eliminar el título
    }
    return $title; // Devolver el título normal en otros casos
}

add_filter( 'the_title', 'no_title_front_page', 10, 2 );


function wpse309151_remove_title_filter_nav_menu( $nav_menu, $args ) {
    // Estamos trabajando con el menú, así que eliminamos el filtro del título
    remove_filter( 'the_title', 'no_title_front_page', 10, 2 );
    return $nav_menu;
}

// Este filtro se ejecuta justo antes del proceso de creación de elementos del menú
add_filter( 'pre_wp_nav_menu', 'wpse309151_remove_title_filter_nav_menu', 10, 2 );

function wpse309151_add_title_filter_non_menu( $items, $args ) {
    // Hemos terminado de trabajar con el menú, así que volvemos a añadir el filtro del título
    add_filter( 'the_title', 'no_title_front_page', 10, 2 );
    return $items;
}

// Este filtro se ejecuta después de que se haya creado el menú de navegación
add_filter( 'wp_nav_menu_items', 'wpse309151_add_title_filter_non_menu', 10, 2 );

Código basado en esta respuesta.

Una forma para header.php:

<?php if (is_page('138')) { echo'
<style type="text/css" title="text/css">
yourpagetitleselector {display:none;}
</style>'
; ?>

Si te entiendo correctamente — que deseas no mostrar el <title> para la página de inicio — puedes usar:

<title><?php if ( ! is_front_page() ) { the_title(); } ?></title>