Зачем использовать admin-ajax.php и как это работает?

admin-ajax.php является частью AJAX API WordPress и действительно обрабатывает запросы как из бэкенда, так и из фронтенда. Вот что я выяснил по вашему вопросу:

2) Как работает admin-ajax.php?

Логику работы можно посмотреть здесь.

Предполагается, что вы уже знаете, как подключать JavaScript и т.д.

JavaScript часть:

jQuery(document).ready(function($) {

    // Передаем эту переменную в PHP функцию example_ajax_request
    var fruit = 'Banana';

    // AJAX запрос
    $.ajax({
        url: ajaxurl,
        data: {
            'action':'example_ajax_request',
            'fruit' : fruit
        },
        success:function(data) {
            // Вывод результата AJAX запроса
            console.log(data);
        },
        error: function(errorThrown){
            console.log(errorThrown);
        }
    });   

});

PHP часть:

function example_ajax_request() {

    // $_REQUEST содержит все данные, отправленные через AJAX
    if ( isset($_REQUEST) ) {

        $fruit = $_REQUEST['fruit'];

        // Обрабатываем полученные данные
        if ( $fruit == 'Banana' ) {
            $fruit = 'Apple';
        }

        // Возвращаем результат в JavaScript функцию
        // Все, что выводится, будет возвращено в ответе
        echo $fruit;

        // Для отладки может быть полезно посмотреть содержимое $_REQUEST
        // print_r($_REQUEST);

    }

    // Всегда завершаем функции, выводящие AJAX контент
   die();
}

add_action( 'wp_ajax_example_ajax_request', 'example_ajax_request' );

// Если нужно использовать функцию для незалогиненных пользователей (например, в теме)
 add_action( 'wp_ajax_nopriv_example_ajax_request', 'example_ajax_request' );

1) Почему стоит использовать admin-ajax.php вместо кодирования json в отдельном файле, например themes/example/json.php?

Может быть полезно: admin-ajax.php vs Пользовательский Шаблон Страницы для AJAX запросов