Perché usare admin-ajax.php e come funziona?

admin-ajax.php fa parte della API AJAX di WordPress e gestisce le richieste sia dal backend che dal frontend. Ecco cosa ho capito per la tua domanda:

2) Come funziona admin-ajax.php?

Per la logica puoi visitare questo link.

Si presuppone che tu sappia già come accodare JavaScript, ecc.

Parte JavaScript:

jQuery(document).ready(function($) {

    // Passeremo questa variabile alla funzione PHP example_ajax_request
    var fruit = 'Banana';

    // Questa è la richiesta ajax
    $.ajax({
        url: ajaxurl,
        data: {
            'action':'example_ajax_request',
            'fruit' : fruit
        },
        success:function(data) {
            // Questo mostra il risultato della richiesta ajax
            console.log(data);
        },
        error: function(errorThrown){
            console.log(errorThrown);
        }
    });   

});

Parte PHP:

function example_ajax_request() {

    // $_REQUEST contiene tutti i dati inviati via ajax
    if ( isset($_REQUEST) ) {

        $fruit = $_REQUEST['fruit'];

        // Prendiamo i dati inviati e facciamo qualcosa
        if ( $fruit == 'Banana' ) {
            $fruit = 'Apple';
        }

        // Restituiamo il risultato alla funzione javascript
        // Qualsiasi output sarà restituito nella risposta
        echo $fruit;

        // Se stai facendo debug, può essere utile vedere cosa è stato inviato in $_REQUEST
        // print_r($_REQUEST);

    }

    // È sempre necessario usare die() nelle funzioni che restituiscono contenuti ajax
   die();
}

add_action( 'wp_ajax_example_ajax_request', 'example_ajax_request' );

// Se vuoi usare la funzione anche per utenti non loggati (ad esempio in un tema)
 add_action( 'wp_ajax_nopriv_example_ajax_request', 'example_ajax_request' );

1) Perché usare admin-ajax.php invece di codificare il json in un file separato come themes/example/json.php e codificare i dati lì?

Forse questo può esserti utile: admin-ajax.php vs Template di Pagina Personalizzata per Richieste Ajax