¿Cómo establecer las publicaciones de un tipo de publicación personalizada como privadas por defecto?

El problema con el código en tu pregunta es que siempre intercepta. Pierdes por completo la capacidad de no publicar, no se permiten borradores. Por qué esto lleva a posts que no se pueden recuperar de la papelera es algo que no he investigado más a fondo. De todos modos, esto no es lo que uno quiere.

Me alegra que la solución con javascript te funcione, pero personalmente tengo dos problemas con ella, primero, puedes guardar el post como público, segundo, lo hace más difícil - porque el script siempre establece el botón de radio como privado - para manejar el trabajo con borradores. En cierto modo ahora hay dos soluciones a la respuesta.

1. Forzar que el tipo de post sea privado más indicación visual:

Por eso volví a mirar cómo hacerlo con transiciones de estado de post y, como dije, se puede hacer con Transiciones de Estado de Post.

Código:

add_action( 'transition_post_status', 'wpse118970_post_status_new', 10, 3 );
function wpse118970_post_status_new( $new_status, $old_status, $post ) { 
    if ( $post->post_type == 'itsme_private_posts' && $new_status == 'publish' && $old_status  != $new_status ) {
        $post->post_status = 'private';
        wp_update_post( $post );
    }
} 

Esto fuerza que los posts publicados de tu tipo de post sean privados. Sin interferir con la capacidad de guardar borradores. Esto por sí solo sería suficiente para resolver el problema de tener un tipo de post privado.
Pero por supuesto sería bueno tener la naturaleza privada del tipo de post representada en el metabox de publicación. Para esto ajusté un poco el javascript. Principalmente al no establecer la casilla de verificación por defecto, pero aún cambiando el texto mostrado, adicionalmente añadí una nota.

Código:

add_action( 'post_submitbox_misc_actions' , 'wpse118970_change_visibility_metabox' );
function wpse118970_change_visibility_metabox(){
    global $post;
    if ($post->post_type != 'post')
        return;
        $message = __('<strong>Nota:</strong> Los posts publicados son siempre <strong>privados</strong>.');
        $post->post_password = '';
        $visibility = 'private';
        $visibility_trans = __('Privado');
    ?>
    <style type="text/css">
        .priv_pt_note {
            background-color: lightgreen;
            border: 1px solid green;
            border-radius: 2px;
            margin: 4px;
            padding: 4px;
        }
    </style>
    <script type="text/javascript">
        (function($){
            try {
                $('#post-visibility-display').text('<?php echo $visibility_trans; ?>');
                $('#hidden-post-visibility').val('<?php echo $visibility; ?>');
            } catch(err){}
        }) (jQuery);
    </script>
    <div class="priv_pt_note">
        <?php echo $message; ?>
    </div>
    <?php
}

Fuente: ¿Cómo establecer la visibilidad de nuevos posts como privada por defecto?
Nota: Comparado con el código de abajo eliminé la verificación del botón de radio y adicionalmente añadí código para el mensaje.

Por supuesto no necesitas el javascript para hacer que tu tipo de post sea privado, pero siempre es bueno tener cosas indicadas visualmente. Por esa razón es una buena adición.

2. Hacer que privado sea la opción estándar en el metabox de publicación:

Mantengo esto porque @its_me aceptó la respuesta para esto como solución. Como dije en el comentario encontré un fragmento de código útil, se encarga de establecer la visibilidad en el metabox como privada enganchándose a post_submitbox_misc_actions. Como dije al principio »Tengo dos problemas con ello, primero, puedes guardar el post como público, segundo, lo hace más difícil - porque el script siempre establece el botón de radio como privado - para manejar el trabajo con borradores«. Todavía es posible tener y trabajar con borradores, solo no tan intuitivo como antes, pero el estado de publicación privada no está de ninguna manera forzado.

Código:

add_action( 'post_submitbox_misc_actions' , 'wpse118970_change_visibility_metabox_value' );
function wpse118970_change_visibility_metabox_value(){
    global $post;
    if ($post->post_type != 'itsme_private_posts')
        return;
    $post->post_password = '';
    $visibility = 'private';
    $visibility_trans = __('Privado');
    ?>
    <script type="text/javascript">
        (function($){
            try {
                $('#post-visibility-display').text('<?php echo $visibility_trans; ?>');
                $('#hidden-post-visibility').val('<?php echo $visibility; ?>');
                $('#visibility-radio-<?php echo $visibility; ?>').attr('checked', true);
            } catch(err){}
        }) (jQuery);
    </script>
    <?php
}

Fuente: ¿Cómo establecer la visibilidad de nuevos posts como privada por defecto?
Nota: Acorté el código para ajustarlo a las necesidades aquí.