Impostare i post di un custom post type come privati di default?

Il problema con il codice nella tua domanda è che sempre intercetta. Perdi completamente la possibilità di non pubblicare, nessuna bozza possibile. Perché questo porti a post non recuperabili è qualcosa che non ho approfondito. Comunque non è ciò che si vuole.

Sono contento che la soluzione JavaScript funzioni per te, ma personalmente ho due problemi con essa, primo, puoi salvare il post come pubblico, secondo, rende più difficile - perché lo script imposta sempre il pulsante radio su privato - gestire il lavoro con le bozze. In un certo senso ci sono ora due soluzioni alla risposta.

1. Forzare il tipo di post a essere privato più indicazione visiva:

Questo è il motivo per cui ho dato un'altra occhiata a farlo con le transizioni dello stato del post e, come ho detto, può essere fatto con Post Status Transitions.

Codice:

add_action( 'transition_post_status', 'wpse118970_post_status_new', 10, 3 );
function wpse118970_post_status_new( $new_status, $old_status, $post ) { 
    if ( $post->post_type == 'itsme_private_posts' && $new_status == 'publish' && $old_status  != $new_status ) {
        $post->post_status = 'private';
        wp_update_post( $post );
    }
} 

Questo forza i post pubblicati del tuo tipo di post a essere privati. Senza interferire con la possibilità di salvare bozze. Questo da solo sarebbe sufficiente per risolvere il problema di avere un tipo di post privato.
Ma naturalmente sarebbe bello avere la natura privata del tipo di post rappresentata nel metabox di pubblicazione. Per questo ho modificato un po' il javascript. Principalmente non impostando la checkbox di default, ma cambiando comunque il testo mostrato, inoltre ho aggiunto una nota.

Codice:

add_action( 'post_submitbox_misc_actions' , 'wpse118970_change_visibility_metabox' );
function wpse118970_change_visibility_metabox(){
    global $post;
    if ($post->post_type != 'post')
        return;
        $message = __('<strong>Nota:</strong> I post pubblicati sono sempre <strong>privati</strong>.');
        $post->post_password = '';
        $visibility = 'private';
        $visibility_trans = __('Privato');
    ?>
    <style type="text/css">
        .priv_pt_note {
            background-color: lightgreen;
            border: 1px solid green;
            border-radius: 2px;
            margin: 4px;
            padding: 4px;
        }
    </style>
    <script type="text/javascript">
        (function($){
            try {
                $('#post-visibility-display').text('<?php echo $visibility_trans; ?>');
                $('#hidden-post-visibility').val('<?php echo $visibility; ?>');
            } catch(err){}
        }) (jQuery);
    </script>
    <div class="priv_pt_note">
        <?php echo $message; ?>
    </div>
    <?php
}

Fonte: Come impostare la visibilità dei nuovi post su privato di default?
Nota: Rispetto al codice qui sotto ho rimosso la selezione del pulsante radio e aggiunto codice per il messaggio.

Naturalmente non hai bisogno del javascript per rendere privato il tuo tipo di post, ma è sempre bello avere le cose indicate visivamente. Per questo motivo è un'aggiunta gradita.

2. Rendere privata l'opzione standard nel metabox di pubblicazione:

Mantengo questo perché @its_me ha accettato la risposta per questo come soluzione. Come ho detto nel commento ho trovato un pezzo di codice utile, si occupa di impostare la visibilità nel metabox su privato agganciandosi a post_submitbox_misc_actions. Come ho detto all'inizio »Ho due problemi con esso, primo, puoi salvare il post come pubblico, secondo, rende più difficile - perché lo script imposta sempre il pulsante radio su privato - gestire il lavoro con le bozze«. È ancora possibile avere e lavorare con bozze, solo non così intuitivo come prima, ma lo stato di pubblicazione privato non è in alcun modo forzato.

Codice:

add_action( 'post_submitbox_misc_actions' , 'wpse118970_change_visibility_metabox_value' );
function wpse118970_change_visibility_metabox_value(){
    global $post;
    if ($post->post_type != 'itsme_private_posts')
        return;
    $post->post_password = '';
    $visibility = 'private';
    $visibility_trans = __('Privato');
    ?>
    <script type="text/javascript">
        (function($){
            try {
                $('#post-visibility-display').text('<?php echo $visibility_trans; ?>');
                $('#hidden-post-visibility').val('<?php echo $visibility; ?>');
                $('#visibility-radio-<?php echo $visibility; ?>').attr('checked', true);
            } catch(err){}
        }) (jQuery);
    </script>
    <?php
}

Fonte: Come impostare la visibilità dei nuovi post su privato di default?
Nota: Ho abbreviato il codice per adattarlo alle necessità qui.