Cómo mostrar submenú usando solamente wp_nav_menu()

Estoy usando este código para mostrar los submenús de páginas personalizadas cuando se está en la página padre. Pero este código también muestra una página padre en una página que no tiene submenú, la cual me gustaría ocultar. Básicamente, solo quiero usar este código si estamos en una página que tiene una subpágina.

class Selective_Walker extends Walker_Nav_Menu
{
    function walk( $elements, $max_depth) {

        $args = array_slice(func_get_args(), 2);
        $output = '';

        if ($max_depth < -1) //parámetro inválido
            return $output;

        if (empty($elements)) //nada que recorrer
            return $output;

        $id_field = $this->db_fields['id'];
        $parent_field = $this->db_fields['parent'];

        // visualización plana
        if ( -1 == $max_depth ) {
            $empty_array = array();
            foreach ( $elements as $e )
                $this->display_element( $e, $empty_array, 1, 0, $args, $output );
            return $output;
        }

        /*
         * necesita mostrar en orden jerárquico
         * separa elementos en dos grupos: elementos de nivel superior y elementos hijos
         * children_elements es un array bidimensional, por ejemplo
         * children_elements[10][] contiene todos los sub-elementos cuyo padre es 10.
         */
        $top_level_elements = array();
        $children_elements  = array();
        foreach ( $elements as $e) {
            if ( 0 == $e->$parent_field )
                $top_level_elements[] = $e;
            else
                $children_elements[ $e->$parent_field ][] = $e;
        }

        /*
         * cuando ninguno de los elementos es de nivel superior
         * asume que el primero debe ser la raíz de los sub elementos
         */
        if ( empty($top_level_elements) ) {

            $first = array_slice( $elements, 0, 1 );
            $root = $first[0];

            $top_level_elements = array();
            $children_elements  = array();
            foreach ( $elements as $e) {
                if ( $root->$parent_field == $e->$parent_field )
                    $top_level_elements[] = $e;
                else
                    $children_elements[ $e->$parent_field ][] = $e;
            }
        }

        $current_element_markers = array( 'current-menu-item', 'current-menu-parent', 'current-menu-ancestor' );  //añadido por continent7
        foreach ( $top_level_elements as $e ){  //modificado por continent7
            // desciende solo en el árbol actual
            $descend_test = array_intersect( $current_element_markers, $e->classes );
            if ( !empty( $descend_test ) ) 
                $this->display_element( $e, $children_elements, 2, 0, $args, $output );
        }

        /*
         * si estamos mostrando todos los niveles y children_elements restante no está vacío,
         * entonces tenemos huérfanos, que deberían mostrarse de todos modos
         */
         /* eliminado por continent7
        if ( ( $max_depth == 0 ) && count( $children_elements ) > 0 ) {
            $empty_array = array();
            foreach ( $children_elements as $orphans )
                foreach( $orphans as $op )
                    $this->display_element( $op, $empty_array, 1, 0, $args, $output );
         }
        */
         return $output;
    }
}

en la plantilla usando:

wp_nav_menu( 
   array(
       'theme_location'=>'primary', 
       'walker'=>new Selective_Walker() 
   )
);