¿Cómo puedo eliminar el botón "Añadir Nuevo" en mi tipo de entrada personalizada?

Una solución más elegante sería deshabilitar la capacidad de crear un custom_post_type:

Simplemente pasa el parámetro 'create_posts' => 'do_not_allow', en el array de capacidades al llamar a register_post_type.

$args = array(
        'label'               => __( 'Tipo de entrada personalizada', 'text_domain' ),
        'description'         => __( 'Tipo de entrada personalizada', 'text_domain' ),
        'labels'              => $labels,
        'supports'            => array( ),
        'hierarchical'        => false,
        'public'              => true,
        'show_ui'             => true,
        'show_in_menu'        => true,
        'show_in_nav_menus'   => true,
        'show_in_admin_bar'   => true,
        'has_archive'         => true,
        'exclude_from_search' => false,
        'publicly_queryable'  => true,
        'map_meta_cap'        => true,
        'capabilities' => array(
            'create_posts' => 'do_not_allow' // No permitir crear entradas
        )
    );
    register_post_type( 'custom_post_type', $args );

Entonces, si solo deseas eliminar Agregar nuevo y no estás utilizando custom_post_type, no deberías usar 'capability_type' => 'custom_post_type'. Es mejor eliminar este código. ¡Buena suerte! :)

Así que, el demo está a continuación:

array(
'labels' => $member_labels,
'has_archive' => true,
'public' => true,
'hierarchical' => true, // como página
'rewrite' => array('slug' => 'member_pages'),
'supports' => array(
    'title',
    'editor',
    'excerpt',
    'custom-fields',
    'thumbnail',
    'page-attributes',
),
'taxonomies' => array('post_tag', 'cm_club'),
// 'capability_type' => 'custom_post_type',
'capabilities' => array(
    'create_posts' => false,
),
'map_meta_cap' => true,
)

Edité la respuesta de @TompaLompa ya que estaba incompleta. Agregar create_posts => false no funcionará si map_meta_cap no está configurado como true.

No configurar este parámetro (o establecerlo como false) también deshabilitará la edición del tipo de publicación. Esto se debe a que necesitarías agregar la capacidad edit_post a cada rol de usuario para agregar Y editar tu tipo de publicación.

Configurar este parámetro hará que WordPress utilice su manejo predeterminado de capacidades meta internas y lo hará funcionar por ti si no necesitas un control más detallado sobre las capacidades de los roles que las predeterminadas de WordPress.

La mejor manera que encontré es instalar el plugin add-admin-javascript y activarlo luego ir a configuraciones y agregar javascript escribe este código en el último cuadro

$('.wrap .wp-heading-inline').remove();
$('.wrap .page-title-action').remove();
$('#wp-admin-bar-new-content').remove();