¿Cómo usar AJAX en el área de administración del plugin?

Por favor, evita el uso de require('../../../wp-load.php'); y cosas similares como se sugiere en otras respuestas. Siempre deberías usar la forma AJAX de WordPress. Es realmente fácil y tendrás todo el motor de WordPress cargado en tu script PHP.

Solo tres consideraciones:

1. Debes enviar la solicitud AJAX a ...wp-admin/admin-ajax.php. ajaxurl es una variable javascript que está siempre definida en el área de administración y contiene la URL correcta al archivo admin-ajax.php en la instalación actual de WordPress. Puedes usar ajaxurl directamente en tu javascript en el área de administración. He visto que envías la solicitud AJAX a una URL diferente.
2. En los datos enviados debes incluir la variable action. La variable action contiene el nombre de una función PHP previamente registrada por tu plugin/tema. Esta función manejará la solicitud AJAX. He leído tu código y definiste la función AJAX en tu PHP pero falta el action en tu javascript.
3. El ejemplo de abajo es para el área de administración como preguntaste sobre el área de admin. En el frontend es un poco diferente pero sigue siendo muy fácil; si necesitas un ejemplo para hacer la solicitud AJAX en el frontend solo dilo y lo publicaré.

Ejemplo:

En tu PHP (plugin/tema):

add_action('wp_ajax_my_action', 'my_ajax_action_function');

function my_ajax_action_function(){
  
    $response = array();
    if ( ! empty($_POST['param'] ) ) {
         $response['response'] = "He recibido el parámetro y su valor es " . $_POST['param'] . ' y la URL del plugin es ' . plugins_url();
    } else {
         $response['response'] = "No enviaste el parámetro";
    }

    header( "Content-Type: application/json" );
    echo json_encode($response);
 
    // No olvides siempre hacer exit en la función AJAX.
    exit();

}

Tu javascript en el backend debería ser algo como esto (recuerda que ajaxurl siempre está definido por WordPress en el área de administración):

jQuery.ajax({
    type: "POST",
    url: ajaxurl,
    data: { action: 'my_action' , param: 'st1' }
  }).done(function( msg ) {
         alert( "Datos guardados: " + msg.response );
 });