Как использовать Ajax в административной части плагина?

Пожалуйста, избегайте использования require('../../../wp-load.php'); и подобных конструкций, как предлагается в других ответах. Вы всегда должны использовать стандартный AJAX-метод WordPress. Это действительно просто, и у вас будет доступ ко всему движку WordPress в вашем PHP-скрипте.

Три важных замечания:

1. Вы должны отправлять AJAX-запрос на ...wp-admin/admin-ajax.php. ajaxurl — это JavaScript-переменная, которая всегда определена в админ-панели и содержит корректный URL к файлу admin-ajax.php в текущей установке WordPress. Вы можете использовать ajaxurl напрямую в вашем JavaScript-коде в админ-панели. Я заметил, что вы отправляете AJAX-запрос на другой URL.
2. В отправляемых данных должна быть переменная action. Переменная action содержит имя PHP-функции, ранее зарегистрированной вашим плагином/темой. Эта функция будет обрабатывать AJAX-запрос. Я прочитал ваш код и увидел, что вы определили AJAX-функцию в PHP, но не указали action в JavaScript.
3. Пример ниже предназначен для админ-панели, как вы и просили. На фронтенде всё немного иначе, но всё так же просто. Если вам нужен пример для фронтенда, просто скажите — я его опубликую.

Пример:

В вашем PHP (плагин/тема):

add_action('wp_ajax_my_action', 'my_ajax_action_function');

function my_ajax_action_function(){
  
    $response = array();
    if ( ! empty($_POST['param'] ) ) {
         $response['response'] = "Я получил параметр, и его значение — " . $_POST['param'] . ', а URL плагина — ' . plugins_url();
    } else {
         $response['response'] = "Вы не отправили параметр";
    }

    header( "Content-Type: application/json" );
    echo json_encode($response);
 
    // Не забывайте всегда завершать AJAX-функцию exit().
    exit();

}

Ваш JavaScript в админ-панели должен выглядеть примерно так (помните, что ajaxurl всегда определён WordPress в админ-панели):

jQuery.ajax({
    type: "POST",
    url: ajaxurl,
    data: { action: 'my_action' , param: 'st1' }
  }).done(function( msg ) {
         alert( "Данные сохранены: " + msg.response );
 });