Obtener el primer término del post

A partir de PHP 5.4, puedes desreferenciar directamente un array, por lo que para obtener el primer término, simplemente puedes hacer:

$first_term = get_the_terms( $post->ID, 'TAXONOMY_NAME' )[0];
var_dump( $first_term );

Si necesitas una propiedad específica (como el nombre del término) del primer término, puedes hacer lo siguiente:

$first_term_name = get_the_terms( $post->ID, 'TAXONOMY_NAME' )[0]->name;
var_dump( $first_term_name );

EDITADO

Nota importante: esto tiene sus desventajas porque obtendrás un objeto WP_Error si la taxonomía es inválida. Además, si el array devuelto está vacío, también obtendrás una advertencia de clave de array indefinida, así que úsalo con cuidado.

¿Qué tal si accedemos directamente a la clave del objeto?

$terms = get_the_terms( $post->ID, 'sitecat' );
$first_term = $terms[0];

De esta manera puedes acceder al objeto.

echo $first_term->name;

Para resumir todas las respuestas anteriores, aquí está el helper que utilizo. Realiza todas las verificaciones necesarias y acepta los mismos argumentos que la función get_the_terms().

function getTheFirstTerm($post, $taxonomy) {
    $post = get_post( $post );
    if ( ! $post ) {
        return false;
    }

    $terms = get_the_terms( $post->ID, $taxonomy );

    if (!empty($terms)  && !is_wp_error( $terms )) {
        // Esta línea efectivamente retorna el primer término disponible si existe.
        return $terms[0];
    }

    return false;
}

Nota adicional. Esta función, por simplicidad en la mayoría de mis casos, retorna solo el objeto del término o false. Aún puedes retornar WP_Error si en tu flujo necesitas verificarlo, por ejemplo:

if (!empty($terms)) {
   if(!is_wp_error( $terms )) {
       // Esta línea efectivamente retorna el primer término disponible si existe.
       return $terms[0];
   } else {
       return $terms; // Esto retorna el objeto WP_Error
   }       
}

Además, puedes ordenar los términos antes de retornar el primero, por ejemplo, para obtener el primer término por term_id, slug, nombre, orden de menú, etc.

Funcionó para mí. Muestra solo la primera categoría como texto, sin enlace.

$terms = get_the_terms( $post->ID , 'your_custom_taxonomy' );
foreach( $terms as $term ) {
    print $term->name;
    break;
    unset($term);
}