Obține ID-ul categoriei din slug-ul categoriei (nu funcționează)

Am găsit acest cod, care aparent obține ID-ul categoriei din slug-ul categoriei:

  $category = get_category_by_slug('category-name'); 
  $id = $category->term_id;

Dar când încerc să-l implementez în următorul cod, nu funcționează:

<?php
// listează termenii într-o taxonomie personalizată folosind wp_list_categories 

$category = get_category_by_slug( 'military' );

$args = array(
  'taxonomy'     => 'product_cat',
  'orderby'      => 'name',
  'show_count'   => 0,
  'pad_counts'   => 0,
  'hierarchical' => 1,
  'title_li'     => '',
  'depth'        => 2,
  'child_of'     => $category->term_id
);

?>

<ul class="test">
<?php wp_list_categories( $args ); ?>
</ul>

Încerc să afișez doar categoriile copil ale unei categorii părinte specifice. Dacă introduc direct ID-ul categoriei pentru "child_of", atunci funcționează perfect. Dar folosind codul de mai sus, continuă să afișeze toate categoriile. Din păcate, trebuie să o fac prin intermediul slug-ului, nu prin ID.

Aveți vreo idee?