Ottenere l'ID della categoria dallo slug della categoria (non funzionante)

Ho trovato questo codice che apparentemente ottiene l'ID della categoria dallo slug della categoria:

  $category = get_category_by_slug('category-name'); 
  $id = $category->term_id;

Ma quando provo ad implementarlo nel seguente codice, non funziona:

<?php
//elenca i termini in una tassonomia personalizzata usando wp_list_categories 

$category = get_category_by_slug('military');

$args = array(
  'taxonomy'     => 'product_cat',
  'orderby'      => 'name',
  'show_count'   => 0,
  'pad_counts'   => 0,
  'hierarchical' => 1,
  'title_li'     => '',
  'depth'        => 2,
  'child_of'     => $category->term_id
);

?>

<ul class="test">
<?php wp_list_categories( $args ); ?>
</ul>

Sto cercando di mostrare solo le categorie figlie di una specifica categoria genitore. Se inserisco direttamente l'ID della categoria per "child_of" allora funziona perfettamente. Ma usando il codice sopra, continua a mostrare tutte le categorie. Sfortunatamente ho bisogno di farlo tramite slug, non tramite ID.

Qualche idea?