Obtener ID de categoría desde el slug de categoría (no funciona)

Encontré este código, que aparentemente obtiene el ID de categoría desde el slug de la categoría:

  $category = get_category_by_slug('category-name'); 
  $id = $category->term_id;

Pero cuando intento implementarlo en el siguiente código, no funciona:

<?php
//listar términos en una taxonomía personalizada usando wp_list_categories 

$category = get_category_by_slug( 'military' );

$args = array(
  'taxonomy'     => 'product_cat',
  'orderby'      => 'name',
  'show_count'   => 0,
  'pad_counts'   => 0,
  'hierarchical' => 1,
  'title_li'     => '',
  'depth'        => 2,
  'child_of'     => $category->term_id
);

?>

<ul class="test">
<?php wp_list_categories( $args ); ?>
</ul>

Estoy intentando mostrar solo las categorías hijas de una categoría padre específica. Si simplemente escribo el ID de la categoría para "child_of" entonces funciona perfectamente. Pero usando el código anterior, continúa mostrando todas las categorías. Desafortunadamente necesito hacerlo mediante el slug, no mediante el ID.

¿Alguna idea?