Как добавить запись с пользовательской таксономией в WordPress

Я создал пользовательский тип записи в WordPress, связанный с пользовательской таксономией.

Записи собирают данные с фронтенда сайта с помощью функции wp_insert_post().

Вот мой код регистрации пользовательского типа записи:

$labels = array(
        'name' => 'Фильмы',
        'singular_name' => 'Фильм',
        'add_new' => 'Добавить новый',
        'add_new_item' => 'Добавить новый фильм',
        'edit_item' => 'Редактировать фильм',
        'new_item' => 'Новый фильм',
        'all_items' => 'Все фильмы',
        'view_item' => 'Просмотреть фильм',
        'search_items' => 'Искать фильмы',
        'not_found' =>  'Фильмы не найдены',
        'not_found_in_trash' => 'Фильмы не найдены в корзине', 
        'parent_item_colon' => '',
        'menu_name' => 'Фильмы'
    );

    $args = array(
        'labels' => $labels,
        'public' => true,
        'publicly_queryable' => true,
        'show_ui' => true, 
        'show_in_menu' => true, 
        'query_var' => true,
        'rewrite' => true,
        'capability_type' => 'post',
        'has_archive' => true, 
        'hierarchical' => false,
        'menu_position' => null,
        'taxonomies' => array('film_category'),
        'supports' => array(
            'title',
            'editor'
        )
    );

    register_post_type('film', $args);

А вот мой код регистрации пользовательской таксономии:

$labels = array(
        'name' => 'Категории',
        'singular_name' => 'Фильм',
        'search_items' =>  'Искать категории',
        'all_items' => 'Все категории',
        'parent_item' => 'Родительская категория',
        'parent_item_colon' => 'Родительская категория:',
        'edit_item' => 'Редактировать категорию', 
        'update_item' => 'Обновить категорию',
        'add_new_item' => 'Добавить новую категорию',
        'new_item_name' => 'Новое название категории',
        'menu_name' => 'Категории'
    );

    $args = array(
        'labels' => $labels,
        'hierarchical' => true,
        'rewrite' => false,
        'capabilities' => array('manage_terms') 
    );

    register_taxonomy('film_category', array('film'), $args);

Оба кода выполняются на хуке init.

Когда пользователь отправляет форму с фронтенда, я выполняю следующий код:

$post = array(
            'comment_status' => 'closed',
            'ping_status' => 'closed',
            'post_author' => 2,
            'post_content' => $_POST['synopsis'],
            'post_name' => sanitize_title($_POST['title']),
            'post_status' => 'private',
            'post_title' => $_POST['title'],
            'post_type' => 'film',
            'tax_input' => array(
                'film_category' => array(
                    $_POST['category']
                )
            )
        );

        $new_film_id = wp_insert_post($post);

        wp_set_object_terms($new_film_id, $_POST['category'], 'film_category', true);

В моей фронтенд-форме есть поле выбора "category", содержащее категории фильмов. Я пробовал использовать в значениях options ID терминов, их названия и слаги, но это не работает.

Новая запись создается в моем пользовательском типе записи, но я не могу назначить категории фильмов.

Есть какие-то идеи?