Как удалить эти поля из раздела 'Профиль'?

Хотя фильтр user_contactmethods является одним из немногих для экрана профиля пользователя, так как другие поля не обязательны в WordPress, вы можете использовать jQuery методы .hide() и .remove(), чтобы эффективно убрать те, которые вам не нужны, без сложностей с сохранением информации. Конечно, пользователи без JS всё равно увидят эти поля, но их меньшинство, и я предполагаю, что изменение этой информации ни на что не повлияет.

Пример удаления всего блока личных настроек (показ админ-бара и цветовой схемы). Я знаю, что это не совсем то, что вам нужно, просто хотел привести быстрый пример, который есть под рукой:

// удаление блока личных настроек
if( is_admin() ){
    remove_action( 'admin_color_scheme_picker', 'admin_color_scheme_picker' );
    add_action( 'personal_options', 'prefix_hide_personal_options' );
}

function prefix_hide_personal_options() {
  ?>
    <script type="text/javascript">
        jQuery( document ).ready(function( $ ){
            $( '#your-profile .form-table:first, #your-profile h3:first' ).remove();
        } );
    </script>
  <?php
}

Также заметка об опции "Показывать админ-бар": в версии 3.3 админ-бар становится частью шапки и, следовательно, его нельзя включить или выключить, так что, возможно, не стоит об этом беспокоиться.

Обновил пример кода, чтобы он был точнее и полнее. Были некоторые остаточные элементы.

Поскольку в PHP, похоже, нет подходящего хука для этого, я решил скрыть поля с помощью CSS, а затем удалить их с помощью JS.

add_action( 'admin_head', 'remove_default_profile_fields' );

function remove_default_profile_fields() {

    global $pagenow;

    if( 'profile.php' != $pagenow) return;

    remove_action( 'admin_color_scheme_picker', 'admin_color_scheme_picker' );

    // <tr> селекторы, каждый из которых содержит поле
    $tr = array(
        "tr.user-rich-editing-wrap",
        "tr.user-comment-shortcuts-wrap",
        "tr.user-first-name-wrap",
        "tr.user-last-name-wrap",
        "tr.user-admin-bar-front-wrap",
        "tr.user-profile-picture",
        "tr.user-user-login-wrap",
        "tr.user-display-name-wrap",
        "h2" // Лично я решил удалить все теги H2 тоже.
    );

    $selectors = implode(", ", $tr);

    // Скрываем поля с помощью CSS, чтобы они не отображались, даже если JavaScript отключен.
    echo "<style>{$selectors}{display:none;}</style>"; ?>

    <script type="text/javascript">
        jQuery( document ).ready(function( $ ){
           // Удаляем выбранные <tr>
           $( '<?= $selectors; ?>' ).remove();
           // Удаляем любую оставшуюся пустую таблицу
           $(".form-table:not(:has(tr))").remove();
        });
    </script>

  <?php
}

БУДЬТЕ ОСТОРОЖНЫ!!

1) Удаление поля может быть не лучшей идеей, так как при обновлении, если вы не отправите обязательные поля в хуке обновления WORDPRESS, он может установить пустые значения для этих полей! (например, в форме отправки должен существовать <input name="username".../>)
Я считаю, что лучше просто СКРЫТЬ поля от пользователей визуально, используя jQuery .hide();, а не .remove();
ПРИМЕР кода для скрытия полей "ОТОБРАЖАЕМОЕ ИМЯ" и "НИКНЕЙМ":

jQuery(document).ready(function( $ ){
    $("#nickname,#display_name").parent().parent().hide();
});

2) Чтобы скрыть административную панель, в WordPress есть специальная опция в меню (в Настройках). Для кастомного кода, например:

add_action('after_setup_theme', 'remove_admin_bar');

function remove_admin_bar()
{
  if (!current_user_can('administrator') && !is_admin()) 
  {
    show_admin_bar(false);
  }
}

На форуме поддержки WordPress вы можете выполнить удаление с помощью PHP. Этот код удаляет раздел "О себе":

if (! function_exists('remove_plain_bio') ){
    function remove_plain_bio($buffer) {
        $titles = array('#<h3>About Yourself</h3>#','#<h3>About the user</h3>#');
        $buffer=preg_replace($titles,'<h3>Password</h3>',$buffer,1);
        $biotable='#<h3>Password</h3>.+?<table.+?/tr>#s';
        $buffer=preg_replace($biotable,'<h3>Password</h3> <table class="form-table">',$buffer,1);
        return $buffer;
    }

    function profile_admin_buffer_start() { ob_start("remove_plain_bio"); }

    function profile_admin_buffer_end() { ob_end_flush(); }
}
add_action('admin_head', 'profile_admin_buffer_start');
add_action('admin_footer', 'profile_admin_buffer_end');

Код заменяет заголовок "About Yourself" на "Password", а затем удаляет все, что находится между ним и следующей таблицей (которая является таблицей пароля).

Также плагин WP Hide Dashboard делает аналогичную замену с помощью jQuery, если вы хотите расширить функционал.

Используйте

add_action('admin_head', 'remove_profile_fields');

и добавьте

jQuery(document).ready(function(e) {

перед JavaScript-кодом.

Нет фильтра для их отключения. Посмотрите исходный код (/wp-admin/user-edit.php), если вам нужно выполнить подобные действия. Вы можете скрыть их с помощью JS, но их всё равно можно сделать видимыми, а значения обновляются при POST-запросе.

Единственный жизнеспособный вариант — самостоятельно изменить ядро. Просто убедитесь, что вы обрабатываете обновление и игнорируете эти поля при POST-запросе.